Найдите значения $%x\in[0; 2\pi]$%, при которых сумма $%n$% первых членов прогрессии $%1, \sin x, \sin^2x, \ldots$% в $%a$% раз больше суммы всех членов.

Решил эту задачу, но при проверке ответа при $%a\in(0; 1]$% в конце книжки расхождение с моим.

У меня вышло если $%a\in(0; 1]$%, то $%x_1=\alpha$%, $%x_2=\pi-\alpha$% при нечетных $%n$%, а при четных $%n$% еще $%x_3=\pi+\alpha$%, $%x_4=2\pi-\alpha$%, где $%\alpha=\arcsin\sqrt[n]{1-a}$%.

В книге если $%a\in(0; 1]$%, то $%x_1=\alpha$% (при $%a\ne1$%), $%x_2=\pi-\alpha$% при нечетных $%n$%, а при четных $%n$% еще $%x_3=\pi+\alpha$%, $%x_4=2\pi-\alpha$% (при $%a\ne1$%), где $%\alpha=\arcsin\sqrt[n]{1-a}$%.

Поясните, какой из вариантов верен?

задан 20 Июн '19 23:28

изменен 20 Июн '19 23:30

@kvark А в чем разница?

(20 Июн '19 23:55) potter

Некоторые корни исключены

(21 Июн '19 0:11) kvark

@kvark: здесь мне не всё понятно. Прежде всего, всё сводится к уравнению (sin x)^n=1-a, причём -1 < sin x < 1 (чтобы бесконечная сумма существовала). Если n чётно, то решения есть при 0 < a <=1. При этом sin x=+-(1-a)^{1/n}, то есть для 0 < a < 1 на окружности получается 4 точки, которые даны в ответе. Случай a=1 даёт точки 0 и п. Если же n нечётно, то решения есть при 0 < a < 2.

Это всё из той же книги, как я понимаю. Видимо, автор не может жить без выписывания громоздких ответов с параметрами. Но тут, спасибо, хоть не надо периодичность учитывать :)

(21 Июн '19 0:18) falcao

Да, та же книга) Так какой вариант записи ответа верен мой или книжный?(

@falcao, решение мне понятно. Мне неясно почему при $%a=1$% некоторые корни исключены

Кстати, при $%a=1$% еще же корень $%2π$% должен быть

(21 Июн '19 0:21) kvark

@kvark: насчёт 2п всё верно -- его надо указать. Видимо, обособление случая a=1 нужно для того, чтобы п-alpha и п+alpha не давало одно и то же.

Вы, как я понимаю, не учли случай, когда при чётном n синус может быть отрицательным. Здесь прав автор книги. Но почему он не берёт условие 0 < a < 2 при нечётных n, я объяснить не могу.

И вообще, от решения таких плохих задач я не вижу пользы. Есть же куча интересных и полезных заданий с параметром.

(21 Июн '19 0:32) falcao

@falcao, я выписал лишь часть ответа просто)) Полный ответ в книге такой: Обозначим $%\alpha=\arcsin\sqrt[n]{1-a}$%, тогда при $%a\in(-\infty; 0]\cup[2; +\infty)$% решений нет; при $%a\in(1; 2)$% и $%n$% четном решений нет, при $%n$% нечетном $%x_1=\pi-\alpha$%, $%x_2=2\pi+\alpha$%; если $%a\in(0; 1]$%, то $%x_1=\alpha$%(при $%a\ne1$%), $%x_2=\pi-\alpha$% при нечетных $%n$%, а при четных $%n$% еще $%x_3=\pi+\alpha$%, $%x_4=2\pi-\alpha$% (при $%a\ne1$%).

P.S. можете посоветовать книги с интересными задачами?) Я прорешал всю книгу с задачами Козко и Чирского, если что

(21 Июн '19 0:40) kvark

@kvark: значит, ответ из книги верен.

Я по сборникам таких задач не специалист. Сейчас их издаётся очень много. А я сам, когда готовился поступать на мехмат, решал задачи вступительных экзаменов предыдущих лет из журнала "Квант".

(21 Июн '19 0:59) falcao

@falcao, эти задачи взяты оттуда же:В с разных вступительных экзаменов в различные вузы

(21 Июн '19 1:12) kvark

@kvark, посмотрите Амелькин Задачи с параметром

(21 Июн '19 1:26) epimkin

@epimkin, дома есть книжка)

(21 Июн '19 2:19) kvark
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,015

задан
20 Июн '19 23:28

показан
199 раз

обновлен
21 Июн '19 2:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru