|
Пусть $%a_n$% - ближайшее к $%\sqrt{n}$% целое число. Найти сумму $%\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{6162}}$%. задан 14 Фев '12 20:28 
dmg3 |
|
Для любого натурального числа $%n$% существует такое натурально $%k$%, что выполняется неравенство $$k^2 \leq n \leq (k+1)^2$$ Число $%\sqrt{n}$% будет ближайшим к $%k$%, если выполняется неравенство (на множестве натуральных чисел) $$\sqrt{n} < k + 05 \Longleftrightarrow n \leq k^2 + k$$ и достаточное $$(k-1)^2+k-1 n \leq k^2 + k \Longleftrightarrow k^2-k < n \leq k^2 + k$$ Количество этих чисел равно $%k^2+k-(k^2-k)=2k$% (члены арифметической прогрессии). Легко рассчитать, что 6162 - 78-й член этой арифметической прогрессии. Т.о. значение суммы будет равно $$\frac{1}{1}2+\frac{1}{2}4+\frac{1}{3}6+...\frac{1}{78}156=156$$ отвечен 16 Фев '12 19:06 
Anatoliy |
|
Строго по индукции пока не доказала, но интуитивно получается, что этот ряд по сути $$2 \ast \frac{1}{1}+4 \ast \frac{1}{2}+6 \ast \frac{1}{3}+8 \ast \frac{1}{4}+...+156 \ast \frac{1}{78}$$ и получается $%2 \ast 78$%. Т.е. при увеличении $%n$% на $%1$% одинаковых дробей становится на $%2$% больше. отвечен 15 Фев '12 12:02 
Hedgehog |