Пусть $%a_n$% - ближайшее к $%\sqrt{n}$% целое число. Найти сумму $%\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{6162}}$%.

задан 14 Фев '12 20:28

изменен 14 Фев '12 20:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для любого натурального числа $%n$% существует такое натурально $%k$%, что выполняется неравенство

$$k^2 \leq n \leq (k+1)^2$$

Число $%\sqrt{n}$% будет ближайшим к $%k$%, если выполняется неравенство (на множестве натуральных чисел)

$$\sqrt{n} < k + 05 \Longleftrightarrow n \leq k^2 + k$$

и достаточное

$$(k-1)^2+k-1 n \leq k^2 + k \Longleftrightarrow k^2-k < n \leq k^2 + k$$

Количество этих чисел равно $%k^2+k-(k^2-k)=2k$% (члены арифметической прогрессии). Легко рассчитать, что 6162 - 78-й член этой арифметической прогрессии. Т.о. значение суммы будет равно

$$\frac{1}{1}2+\frac{1}{2}4+\frac{1}{3}6+...\frac{1}{78}156=156$$

ссылка

отвечен 16 Фев '12 19:06

изменен 29 Фев '12 22:48

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
0

Строго по индукции пока не доказала, но интуитивно получается, что этот ряд по сути $$2 \ast \frac{1}{1}+4 \ast \frac{1}{2}+6 \ast \frac{1}{3}+8 \ast \frac{1}{4}+...+156 \ast \frac{1}{78}$$ и получается $%2 \ast 78$%. Т.е. при увеличении $%n$% на $%1$% одинаковых дробей становится на $%2$% больше.

ссылка

отвечен 15 Фев '12 12:02

изменен 15 Фев '12 12:03

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,809
×332
×20

задан
14 Фев '12 20:28

показан
1042 раза

обновлен
29 Фев '12 22:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru