Если a,b ϵ R , a ≠b, cϵR(+) и a^4-2019a = b^4-2019b=c, докажите что,-√с <ab<0. Решите пожалуйста.

задан 24 Июн '19 0:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%c > 0$%. Для краткости пусть $%n=2019$%, поскольку значение этой величины несущественно. Неравенство $%x^4-nx > 0$% для положительных $%x$% превращается в $%x > \sqrt[3]n$%, а для отрицательных $%x$% оно верно всегда. Производная функции $%(x^4-nx)'=4x^3-n$% отрицательна при $%x < 0$% и положительна при $%x > \sqrt[3]n$%. Таким образом, на обоих промежутках, где функция принимает положительные значения, она монотонна. Отсюда понятно, что значение $%c$% принимается один раз в положительной точке (скажем, $%a$%), и другой раз в отрицательной. Отсюда следует $%ab < 0$%.

Далее для удобства заменим в уравнении $%b$% на $%-b$%, чтобы оба числа стали положительными, и будем доказывать, что $%a^2b^2 < c$%.

Уравнение принимает вид $%a^4-na=b^4+nb=c$%, откуда $%a^4-b^4=n(a+b)$%. Сокращая на $%a+b > 0$%, получаем $%(a-b)(a^2+b^2)=n$%, поэтому $%a > b$%. Нам надо доказать, что $%a^2b^2 < c=a^4-na=a^4-a(a-b)(a^2+b^2)$%. Упрощая, видим, что $%a^4-a(a-b)(a^2+b^2)-a^2b^2=ab(a-b)^2 > 0$%, что и требовалось.

ссылка

отвечен 24 Июн '19 1:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,140

задан
24 Июн '19 0:45

показан
205 раз

обновлен
24 Июн '19 1:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru