комплексный-анализ - Существует ли функция

Нет, не существует. Если предположить противное, то $%f(z)$% представляется степенным рядом в некоторой окрестности нуля. Поскольку $%z_n\to0$% при $%n\to\infty$%, должно выполняться условие $%f(z_n)\to f(0)$%, а предел $%f(z_n)=n^{-5}\cos(n^4)$%, очевидно, равен нулю. Поэтому $%f(0)=0$%. Функция $%f$% при этом не может быть тождественно нулевой в окрестности нуля, так как $%f(z_n)\ne0$% ни при каком $%n$% (число $%\pi$% иррационально, и в точке $%n^4$% косинус не обращается в ноль). Таким образом, $$f(z)=a_mz^m+a_{m+1}z^{m+1}+\cdots$$ при некотором $%m\ge1$% таком что $%a_m\ne0$%.

Если $%m\ge5$%, то функция $%g(z)=f(z)/z^5$% также аналитична в окрестности нуля, но тогда $%g(z_n)=\cos(n^4)$% должна иметь предел $%g(0)$% при $%n\to\infty$%, что невозможно. А если $%m\le4$%, то модуль функции $%h(z)=f(z)/z^m$% в точке $%z=0$% равен $%|a_m|$%, то есть отличен от нуля. Из чего можно заключить, что $%|h(z)|\ge\varepsilon$% для некоторого положительного $%\varepsilon$% в достаточно малой окрестности нуля. Тогда $%|f(z)|\ge\varepsilon|z|^m$% в этой же окрестности. Полагая $%z=z_n$% для достаточно больших $%n$%, при которых точка $%z_n$% попадает в нужную окрестность, имеем неравенство $%|z_n|^5\ge|z_n|^5\cos|z_n|^{-4}\ge\varepsilon|z_n|^m$%, которое с учётом $%m\le4$% очевидным образом невозможно при малых значениях $%|z_n|$%, для которых $%|z_n| < \varepsilon$%.