Найти наибольшее и наименьшее значение данных функций $%z=z(x;y)$% в данных замкнутых областях D

$$z=1-x^2-y^2$$

D: круг $$(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1$$

задан 27 Май '13 18:34

изменен 27 Май '13 18:46

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

В чём проблема? Функция, заданная в ограниченной и замкнутой области достигает своего максимума или минимума или на границе области, или в стационарной точке.

Стационарные точки находятся из соображений $%\frac{\partial z}{\partial x}=0,\frac{\partial z}{\partial y}=0$%. Несложно видеть, что это за точка.

На границе круга у нас $%(x-1)^2+(y-1)^2=1$%. Поэтому представляем нашу функцию в следующем виде $$z=1-(x^2+y^2)=1-(x^2-2x+1)-(y^2-2y+1)-2x+1-2y+1=\\=2(-x-y+1)$$

Т. к. мы знаем, что сы рассматриваем функцию на окружности, то сделаем замену $%x=\cos t+1,y=\sin t+1, t\in[0;2\pi]$%.

Задача свелась к нахождению минимума и максимума функции $%z(t)=2(-\cos t-\sin t+3)$% на отрезке $%[0;2\pi]$%

ссылка

отвечен 27 Май '13 18:47

изменен 27 Май '13 19:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×84
×71
×31
×17

задан
27 Май '13 18:34

показан
1521 раз

обновлен
27 Май '13 19:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru