|
Найти наибольшее и наименьшее значение данных функций $%z=z(x;y)$% в данных замкнутых областях D $$z=1-x^2-y^2$$ D: круг $$(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1$$ задан 27 Май '13 18:34 
рикитир |
|
В чём проблема? Функция, заданная в ограниченной и замкнутой области достигает своего максимума или минимума или на границе области, или в стационарной точке. Стационарные точки находятся из соображений $%\frac{\partial z}{\partial x}=0,\frac{\partial z}{\partial y}=0$%. Несложно видеть, что это за точка. На границе круга у нас $%(x-1)^2+(y-1)^2=1$%. Поэтому представляем нашу функцию в следующем виде $$z=1-(x^2+y^2)=1-(x^2-2x+1)-(y^2-2y+1)-2x+1-2y+1=\\=2(-x-y+1)$$ Т. к. мы знаем, что сы рассматриваем функцию на окружности, то сделаем замену $%x=\cos t+1,y=\sin t+1, t\in[0;2\pi]$%. Задача свелась к нахождению минимума и максимума функции $%z(t)=2(-\cos t-\sin t+3)$% на отрезке $%[0;2\pi]$% отвечен 27 Май '13 18:47 
MathTrbl |