Что значит, что умножение и единица specified as pieces of structure, и что существование обратных требуется как property? Другими словами, более подробно, в чем разница между двумя определениями, о которых тут говорится?

alt text

задан 25 Июн '19 8:16

@Slater: в одном из определений группа задаётся как множество с заданной на ней бинарной операцией. При этом в качестве аксиом можно взять ассоциативный закон вместе с условием разрешимости уравнений ax=b, ya=b (для любых a, b относительно x, y). Свойства существования и единственности нейтрального элемента и обратных доказывается. В предлагаемом подходе группа задаётся как множество с заданными на нём операциями: одной бинарной, одной унарной, и одной 0-арной (выделение элемента). Аксиомы при этом уже выглядят по-другому. Скажем, e становится предметной константой используемого языка.

(25 Июн '19 11:08) falcao

@falcao: Не припомню, чтобы когда-то видел определение, в котором существование единицы не требуется, а доказывается. Вот это определение ( https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)#Definition ) является вторым из Вашего комментария? Почему там аксиомы выглядят по-другому? Та же ассоциативность (как и в первом определении присутствует). Только дополнительно требуется $%a a^{-1}=a^{-1}a$% и $%ae=ea$% - Вы это имели в виду? А в первом определении это доказывается?

(25 Июн '19 17:45) Slater

@Slater: определение через уравнения не самое распространённое, но оно много где встречается. Можно посмотреть по этому поводу старые учебники (Курош, М.Холл и т.д.). Чаще всего берут три аксиомы (ассоциативность, нейтральный элемент, обратные). Это удобнее всего для работы, но там после 2-й аксиомы надо доказывать единственность e. Что довольно просто, но без этого третья аксиома не имеет смысла, так как мы не хотим вводить новую предметную константу в сигнатуру. Но все определения, конечно, эквивалентны между собой. Кроме того, есть более слабая система аксиом, где только ex=x и x^{-1}x=e.

(25 Июн '19 17:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,022

задан
25 Июн '19 8:16

показан
147 раз

обновлен
25 Июн '19 17:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru