Три лошади бегают по кругу в одном направлении.Первая пробегает круг за $%a$% минут, вторая - за $%b$% минут , третья - за $%c$% минут.Через какое время после старта они все впервые поравняются ,если выбегут одновременно ?

($%a,b,c$% -произвольные числа)

задан 25 Июн '19 19:23

изменен 25 Июн '19 19:23

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если какие-то две величины равны, то получается более простая задача для случая двух лошадей. Заметим, что при a=b=c лошади всё время находятся вместе, и рассматривать этот случай нет смысла. Поэтому далее будем считать, что a < b < c.

Периоды движения равны 1/a, 1/b, 1/c. Пусть T > 0 -- наименьшее число минут, когда все три лошади поравнялись. Это означает, что числа T/a, T/b, T/c попарно отличаются на целое число пройденных кругов. То есть число T(1/a-1/b)=T(b-a)/(ab) и симметричное ему являются целыми. В частности, величины (b-a)/(ab), (c-a)/(ac), (c-b)/(bc) должны быть соизмеримыми, чтобы задача имела решение. Иными словами, все отношения (b-a)c:(c-a)b:(c-b)a рациональны. (Не знаю, подразумевалось ли в условии, что числа a, b, c принимают только натуральные значения -- по идее, это не обязательно.)

Три соизмеримых величины пропроциональны натуральным числам. Для трёх натуральных чисел берётся их НОК как наименьшее число из кратных сразу всем трём числам. Таким образом, полагаем ab/(b-a)=Kx, ac/(c-a)=Lx, bc/(c-b)=Mx для некоторого x и натуральных K, L, M. Беря N=НОК(K,L,M), имеем T=Nx.

Пример: пусть a=4, b=6, c=9. Тогда ab/(b-a)=12, ac/(c-a)=36/5, bc(c-b)=18. Это 60x, 36x, 90x для x=1/5. Получается N=НОК(60,36,18)=180 и T=Nx=36. Здесь число равно НОК(a,b,c), а лошади встречаются в начальной точке через 36 минут. Вот ещё пример: a=2, b=6, c=10. Здесь ab/(b-a)=3=6x, ac/(c-a)=5/2=5x, bc(c-b)=15=30x при x=1/2. Тогда T=30x=15. Это уже не будет НОК(a,b,c), и лошади встретятся первый раз все вместе не через 30 минут в начале пути, а через 15 минут в средней точке.

ссылка

отвечен 25 Июн '19 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×14

задан
25 Июн '19 19:23

показан
258 раз

обновлен
25 Июн '19 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru