теория-вероятностей - Задача на законы распределения

Здесь надо сначала найти параметры нормального распределения, то есть среднюю скорость $%a$% и среднеквадратическое отклонение $%\sigma$%. Для этого надо обратиться к таблицам нормального распределения, чтобы понять, какие значения соответствуют 12 и 15 процентам автомобилей. Смотрим, например, сюда, откуда заключаем, что $%12\%$% соответствуют числу $%1-0,12=0,88$% внутри таблиц, а это приблизительно равно $%\Phi(1,18)$%. Далее, для числа $%15\%$% ищем внутри таблицы число $%1-0,15$%, приблизительно равное $%\Phi(1,04)$%.

Установим соответствие между скоростями и найденными числами. Поскольку $%12\%$% автомобилей движутся со скоростью меньше 60 км/ч, это соответствует отрицательному числу $%-1,18$%, что приводит к равенству $%(60-a)/\sigma=-1,18$%. Так как $%15\%$% автомобилей движутся со скоростью больше $%110$% км/ч, это значение соответствует положительному числу $%1,04$%, и второе уравнение имеет вид $%(110-a)/\sigma=1,04$%.

Система из двух линейных уравнений $%60-a=-1,18\sigma$%; $%110-a=1,04\sigma$% легко решается: вычитаем из второго уравнения первое, откуда $%50=2,22\sigma$%, то есть $%\sigma\approx22,52252252$%. Из условия $%a=60+1,18\sigma$% находим $%a\approx86,57657657$%. Это даёт ответ на вопрос пункта а).

Далее, скоростям более 100 км/ч по тем же соображениям соответствует число $%x=(100-a)/\sigma\approx0,596$%. Согласно тем же таблицам, этому числу соответствует примерно $%72\%$% автомобилей, скорость которых не больше 100 км/ч, откуда процент автомобилей, движущихся со скоростью более 100 км/ч, приблизительно равен $%28\%$%. Это ответ на пункт б).

В пункте в) из аналогичных соображений находим $%15/\sigma\approx0,666$%. По таблице это даёт около $%74,5\%$% автомобилей, скорость которых не превышает $%a+15$%. Следовательно, у $%25,5\%$% скорость превышает эту величину. Из соображений симметрии, у такого же процента автомобилей скорость отклоняется от среднего более чем на 15 км/ч в другую сторону. Значит, примерно $%100-2\cdot25,5=49\%$% имеют скорость в пределах $%\pm15$% км/ч от среднего значения $%a\approx87$% км/ч.

Наконец, $%3\sigma$% соответствуют интервалу скоростей от $%a-3\sigma$% до $%a+3\sigma$%, то есть от 19 км/ч до 154 км/ч. В этом диапазоне находятся скорости не менее чем $%99,7\%$%, согласно "правилу трёх сигм". То же самое видно из таблиц: числу $%3$% соответствует $%0,9987$%, что означает превышение скорости на величину $%3\sigma$% и более по отношению к среднему, поэтому вероятность нахождения скорости в интервале $%a\pm3\sigma$% будет равна $%1-2(1-0,9987)=0,9974$%.