Существуют ли такие простые числа $%p,q,r$% ,что число: $$\frac{p^p + q^q +r^r}{2pqr}$$ - целое ?

Тут мне только понятно,что одно из чисел равно двум.

задан 27 Июн 15:55

1

Здесь эту задачу решили(Павел Козлов)

:Пусть r=2. Тогда 4|p^p+q^q. Не умаляя общности, p дает остаток 1 при делении на 4, а q дает остаток 3.

p | q^q+4 дает 1=(4/p)=(-q^q/p)=(q^q/p)=(q/p).

q | p^p+4 дает 1=(4/q)=(-p^p/q)=-(p^p/q)=-(p/q).

Но у нас же есть квадратичный закон взаимности, а он гласит, что (p/q)(q/p)=1, противоречие.

(7 Окт 16:15) lawyer
10|600 символов нужно символов осталось
2

Думается, что нет. Числитель должен быть четным, следовательно p=2, q нечетное, r нечетное $$ \frac{4+q^q+r^r}{4qr}$$

Значит $% q^q+r^r$% делится на 4.

Простое число при делении на 4 может иметь остатки 1 и 3 (2 и 0, означает, что это число 2).

пусть $%q \equiv 1(mod 4)$%, тогда $%q^q \equiv 1(mod 4)$%

пусть $%r \equiv 3(mod 4)$%, тогда $%r^2 \equiv 1(mod 4)$%, $%r^3 \equiv 3(mod 4)$%, $%r^4 \equiv 1(mod 4)$%

Т.е. нужный остаток 3 получается, если r=4b+3 и r нечетное.

q=4a+1, r=4b+3

$$ \frac{4+(4a+1)^q+(4b+3)^r}{4qr} $$

$$ \frac{4+(4a)^q+C_q^2(4a)^{q-1}+...+C_q^{q-1}(4a)+1+(4b)^r+C_r^2(4b)^{r-1}3+...+C_r^{r-1}(4b)3^{r-1}+3^r}{4(4a+1)(4b+3)} $$

$$ A=(4a)^q+C_q^2(4a)^{q-1}+...+C_q^{q-1}(4a)=16A_1+(4a+1)4a $$

$$ B=(4b)^r+C_r^2(4b)^{r-1}3+...+C_r^{r-1}(4b)3^{r-1}=16B_1+(4b+3)4b $$

$$ 3^r=4t+3, t-четное. $$ (легко доказать по индукции, что $%3^{2m}-1$% делится на 8)

$$ \frac{4+4A+1+4B+4t+3}{4(4a+1)(4b+3)} $$

$$ \frac{4(1+A+B+t+1)}{4(4a+1)(4b+3)}=\frac{A+B+t+2}{(4a+1)(4b+3)} $$

$$ \frac{16A_1+16a^2+4a+16B_1+16b^2+12b+t+2}{(4a+1)(4b+3)} $$ так как t-четное, то получаем, что числитель четный, а знаменатель нечетный.

Следовательно таких чисел нет.

ссылка

отвечен 1 Июл 3:46

изменен 1 Июл 11:40

2

@becouse: из того, что числитель чётный, а знаменатель нечётный, разве следует, что частное не может быть целым?

(19 Июл 22:36) falcao

Да, должно быть наоборот, чтобы следовало :)

(20 Июл 5:56) Williams Wol...

Согласен, что-то странное написал)

(9 Авг 0:24) becouse
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×801
×108

задан
27 Июн 15:55

показан
240 раз

обновлен
7 Окт 16:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru