|
Существуют ли такие простые числа $%p,q,r$% ,что число: $$\frac{p^p + q^q +r^r}{2pqr}$$ - целое ? Тут мне только понятно,что одно из чисел равно двум. задан 27 Июн '19 15:55 
potter |
|
Думается, что нет. Числитель должен быть четным, следовательно p=2, q нечетное, r нечетное $$ \frac{4+q^q+r^r}{4qr}$$ Значит $% q^q+r^r$% делится на 4. Простое число при делении на 4 может иметь остатки 1 и 3 (2 и 0, означает, что это число 2). пусть $%q \equiv 1(mod 4)$%, тогда $%q^q \equiv 1(mod 4)$% пусть $%r \equiv 3(mod 4)$%, тогда $%r^2 \equiv 1(mod 4)$%, $%r^3 \equiv 3(mod 4)$%, $%r^4 \equiv 1(mod 4)$% Т.е. нужный остаток 3 получается, если r=4b+3 и r нечетное. q=4a+1, r=4b+3 $$ \frac{4+(4a+1)^q+(4b+3)^r}{4qr} $$ $$ \frac{4+(4a)^q+C_q^2(4a)^{q-1}+...+C_q^{q-1}(4a)+1+(4b)^r+C_r^2(4b)^{r-1}3+...+C_r^{r-1}(4b)3^{r-1}+3^r}{4(4a+1)(4b+3)} $$ $$ A=(4a)^q+C_q^2(4a)^{q-1}+...+C_q^{q-1}(4a)=16A_1+(4a+1)4a $$ $$ B=(4b)^r+C_r^2(4b)^{r-1}3+...+C_r^{r-1}(4b)3^{r-1}=16B_1+(4b+3)4b $$ $$ 3^r=4t+3, t-четное. $$ (легко доказать по индукции, что $%3^{2m}-1$% делится на 8) $$ \frac{4+4A+1+4B+4t+3}{4(4a+1)(4b+3)} $$ $$ \frac{4(1+A+B+t+1)}{4(4a+1)(4b+3)}=\frac{A+B+t+2}{(4a+1)(4b+3)} $$ $$ \frac{16A_1+16a^2+4a+16B_1+16b^2+12b+t+2}{(4a+1)(4b+3)} $$ так как t-четное, то получаем, что числитель четный, а знаменатель нечетный. Следовательно таких чисел нет. отвечен 1 Июл '19 3:46 
becouse 2
@becouse: из того, что числитель чётный, а знаменатель нечётный, разве следует, что частное не может быть целым?
(19 Июл '19 22:36)
falcao
Да, должно быть наоборот, чтобы следовало :)
(20 Июл '19 5:56)
Williams Wol...
Согласен, что-то странное написал)
(9 Авг '19 0:24)
becouse
|
Здесь эту задачу решили(Павел Козлов)
:Пусть r=2. Тогда 4|p^p+q^q. Не умаляя общности, p дает остаток 1 при делении на 4, а q дает остаток 3.
p | q^q+4 дает 1=(4/p)=(-q^q/p)=(q^q/p)=(q/p).
q | p^p+4 дает 1=(4/q)=(-p^p/q)=-(p^p/q)=-(p/q).
Но у нас же есть квадратичный закон взаимности, а он гласит, что (p/q)(q/p)=1, противоречие.