Нахождение минимума и максимума функции $%z(t)=2(−cost−sint+1)$% на отрезке $%[0;2\pi]$%

задан 27 Май '13 19:48

изменен 27 Май '13 20:00

Angry%20Bird's gravatar image


9125

@рикитир, что конкретно у вас вызывает затруднение?

(27 Май '13 19:51) Angry Bird

алгоритм решения напишите или решите)) спасибо

(27 Май '13 19:57) рикитир
10|600 символов нужно символов осталось
0

I способ
Можно воспользоваться преобразованием $$a\sin{x}+b\cos{x}={\sqrt{a^2+b^2}}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}\right)=\\ ={\sqrt{a^2+b^2}}\left(\sin{\varphi}\sin{x}+\cos{\varphi}\cos{x}\right)={\sqrt{a^2+b^2}}\cos{(x-\varphi)}$$ где $%\varphi$% — угол, для которого $$\begin{gather}\sin{\varphi}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \\ \cos{\varphi}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{gather}$$ II способ
Найти экстремумы функции $%z(t)$% можно исследованием перемены знака производной: $$z'(t)=\sin{t}-\cos{t}.$$ Стационарные точки находим, приравнивая производную к нулю, после этого определяем знак производной между соседними стационарными точками.

ссылка

отвечен 27 Май '13 20:08

изменен 27 Май '13 20:12

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%z(t)=2(−cost−sint+1)=-2\sqrt2(\frac{1}{\sqrt2}cost+\frac{1}{\sqrt2}sint)+2=$% $%=2-2\sqrt2(cos\frac{\pi}4cost+sin\frac{\pi}4sint)=2-2\sqrt2cos(t-\frac{\pi}4).$%

Так-как $%-1\le cos(t-\frac{\pi}4)\le1$%, значит $%2-2\sqrt2\le z(t)\le 2+2\sqrt2. $%

$%z(\frac{\pi}4)=2-2\sqrt2,z(\frac{5\pi}4)=2+2\sqrt2,$% где $%\frac{\pi}4,\frac{5\pi}4\in[0;2\pi].$%

Значит $%max z(t)=2+2\sqrt2, min z(t)=2-2\sqrt2.$%

ссылка

отвечен 27 Май '13 20:27

изменен 27 Май '13 20:28

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь можно прийти к ответу ещё вот из каких соображений: рассматривается полный период функции, и ему соответствуют все точки единичной окружности. Поскольку косинус и синус -- это абсцисса и ордината точки окружности, то есть $%x+y$%, то достаточно посмотреть, при каких максимальных и минимальных значениях $%c$% прямая $%x+y=c$% пересекает единичную окружность. Сразу ясно, что это происходит в точках $%(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$% и $%(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)$%, то есть максимум и минимум для $%\cos t+\sin t$% равен $%\sqrt{2}$% и $%-\sqrt{2}$% соответственно. Для самой функции $%z(t)$% это даёт $%2\pm2\sqrt{2}$%.

ссылка

отвечен 27 Май '13 21:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×113
×69
×34
×22

задан
27 Май '13 19:48

показан
1364 раза

обновлен
27 Май '13 21:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru