функция - Минимум и максимум функции $%z(t)=2(−cost−sint+1)$%

$%z(t)=2(−cost−sint+1)=-2\sqrt2(\frac{1}{\sqrt2}cost+\frac{1}{\sqrt2}sint)+2=$% $%=2-2\sqrt2(cos\frac{\pi}4cost+sin\frac{\pi}4sint)=2-2\sqrt2cos(t-\frac{\pi}4).$%

Так-как $%-1\le cos(t-\frac{\pi}4)\le1$%, значит $%2-2\sqrt2\le z(t)\le 2+2\sqrt2. $%

$%z(\frac{\pi}4)=2-2\sqrt2,z(\frac{5\pi}4)=2+2\sqrt2,$% где $%\frac{\pi}4,\frac{5\pi}4\in[0;2\pi].$%

Значит $%max z(t)=2+2\sqrt2, min z(t)=2-2\sqrt2.$%

Здесь можно прийти к ответу ещё вот из каких соображений: рассматривается полный период функции, и ему соответствуют все точки единичной окружности. Поскольку косинус и синус -- это абсцисса и ордината точки окружности, то есть $%x+y$%, то достаточно посмотреть, при каких максимальных и минимальных значениях $%c$% прямая $%x+y=c$% пересекает единичную окружность. Сразу ясно, что это происходит в точках $%(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$% и $%(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)$%, то есть максимум и минимум для $%\cos t+\sin t$% равен $%\sqrt{2}$% и $%-\sqrt{2}$% соответственно. Для самой функции $%z(t)$% это даёт $%2\pm2\sqrt{2}$%.