теория-вероятностей - Совместное распределение двух случайных величин

Здесь проще всего подойти с точки зрения геометрической вероятности. Если $%X,Y$% независимы и равномерно распределены на $%[a,b]$% то точка $%(X,Y)$% равномерно распределена на квадрате $%[a,b]\times[a,b]$%. Вероятность того, что $%X+Y\le c$%, равна нулю при $%c\le2a$% и равна единице при $%c\ge2b$%.

Рассмотрим случай, когда $%2a< c\le a+b$%. Этому событию соответствует попадание точки $%(X,Y)$% в равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами $%(a,a)$%, $%(c-a,a)$%, $%(a,c-a)$%, площадь которого равна $%(c-2a)^2/2$%. Для нахождения геометрической вероятности эту площадь надо разделить на площадь квадрата, в результате чего получится $%(c-2a)^2/(2(b-a)^2)$%.

Теперь рассмотрим случай, когда $%a+b< c < 2b$%. Этому соответствует попадание точки $%(X,Y)$% в дополнение равнобедренного прямоугольного треугольника с вершинами $%(b,b)$%, $%(b,c-b)$%, $%(c-b,b)$%, площадью $%(2b-c)^2/2$%. Поэтому геометрическая вероятность составит $%1-(2b-c)^2/(2(b-a)^2)$%. При $%x=a+b$% обе формулы дают $%1/(b-a)$%.

Мы нашли функцию распределения $%F(c)$% величины $%X+Y$%, и теперь осталось найти производную этой функции в тех точках, где она дифференцируема. Это даст искомую плотность случайной величины. Заменяя для удобства переменную $%c$% на $%x$%, мы видим, что $%p(x)=0$% при $%x\le2a$% и при $%x\ge2b$%. На интервале $%(2a,a+b)$% имеем $%p(x)=F'(x)=(x-2a)/(b-a)^2$%; на интервале $%(a+b,2b)$% получается $%p(x)=F'(x)=(2b-x)/(b-a)^2$%.

Можно нарисовать график плотности $%p(x)$% на отрезке $%[2a,2b]$%. Вне этого отрезка плотность равна нулю, а на отрезке она представляет собой график кусочно-линейной функции, симметричный относительно вертикальной оси, проходящей через его середину, то есть точку $%x=a+b$%. Для построения такого графика достаточно соединить отрезками точку $%(2a,0)$% с точкой $%(a+b,1/(b-a))$%, а последнюю соединить с $%(2b,0)$%.