Читаю лекции Гельфанда по линейной алгебре. Там в первой главе есть такое упражнение:

Упражнение 1. Проверить, что если среди векторов $%x, y, z, \ldots, v$% имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Я решил его так:

Если в равенстве вида $%\alpha x + \beta y + \ldots + \theta v = 0$% коэффицент при нулевом векторе ненулевой, а все остальные коэффиценты при векторах равны 0, то это равенство истинно. И тогда по определению эти векторы линейно зависимы.

Т. е. я опирался на интуитивное понятие о том, что $%0 \times v = 0$%, где $%v$% — нулевой элемент. Среди аксиом есть следующая:

$%3^{\circ}$% Существует элемент $%0$%, такой что $%x + 0 = x$% для любого $%x$%. Элемент $%0$% называется нулевым элементом.

Ниже сказано:

Мы не случайно не сказали, как именно определяются операции сложения и умножения на числа. От этих операции требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы.

Тогда я задался вопросом, откуда мы знаем, что произведение числа 0 на вектор дает нулевой вектор, если операция умножения на скаляр не определена?

И вообще, в равенстве вида $%\alpha x + \beta y + \gamma z + \ldots + \theta v = 0$% ноль слева от знака равно это число 0 или нулевой вектор?

задан 29 Июн '19 18:40

@eanmos: в последнем равенстве слева вектор, поэтому справа тоже вектор, а не число.

Свойство 0v=O доказывается так. Для начала "мини-лемма": вектор a является нулевым <=> a+a=a. Импликация => очевидна. В другую сторону: если a+a=a, то к обеим частям можно прибавить -a. После упрощений это даст a=O. Теперь выводим из леммы утверждение. Полагаем a=0v, и тогда a+a=0v+0v=(0+0)v=0v=a, откуда a=O. Аналогично доказывается, что kO=O для любого скаляра k.

(29 Июн '19 18:47) falcao

@falcao, большое спасибо, теперь все ясно.

(29 Июн '19 18:56) eanmos
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,475

задан
29 Июн '19 18:40

показан
177 раз

обновлен
29 Июн '19 18:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru