На координатной плоскости задана фигура, состоящая из всех точек, координаты $%(a;b)$% которых таковы, что система неравенств не имеет решений. Найдите площадь этой фигуры.

$% \begin{cases} 2x^2+(2a+2b-25)x-25(a+b)>0,\\ x^2+(3-a^2-b^2)x-3(a^2+b^2)<0. \end{cases} $%

задан 30 Июн '19 10:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для начала надо на множители разложить. Корни там просматриваются через теорему Виета.

(2x-25)(x+(a+b)) > 0

(x+3)(x-(a^2+b^2)) < 0

При a^2+b^2=3 второе неравенство не имеет решений. В остальных случаях множеством решений второго неравенства будет открытый интервал строго между точками a^2+b^2 и 3 (в подходящем порядке). Чтобы решений у системы не было, для точек этого интервала должно выполняться отрицание первого неравенства, то есть интервал должен содержаться в отрезке между 25/2 и -(a+b), также в подходящем порядке. Для этого необходимо и достаточно, чтобы отрезку принадлежали концы интервала. Отсюда мы заключаем, что -(a+b)<=3 с учётом 3 < 25/2. Также имеет место одно из неравенств 25/2<=a^2+b^2<=-(a+b) или -(a+b)<=a^2+b^2<=25/2.

Для первого неравенства (a+1/2)^2+(b+1/2)^2<=1/2, а это круг с центром (-1/2,-1/2) с окружностью, проходящей через (0,0). Для точек этого круга a+b лежит в отрезке [-2,0], и неравенство a+b>=-3 автоматически выполнено. Также надо исключить открытый круг a^2+b^2 < 25/2; рисуем окружность с центром в нуле, проходящую через точку (5/2,5/2). Оказывается, что имеющийся круг целиком находится внутри неё, то есть первое неравенство (из конца предыдущего абзаца) решений иметь не будет.

Для второго неравенства (a+1/2)^2+(b+1/2)^2>=1/2, и при этом a^2+b^2<=25/2, то есть мы из второго круга вычитаем внутренность первого. Помимо этого, надо учесть условие a+b>=-3, удаляя сегмент большего из кругов. Площадь большего круга 25п/2, площадь меньшего п/2. После вычитания останется 12п. Площадь сегмента равна четверти площади круга, равной 25п/8, минус площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, равная 25/4.

Итого 12п-(25п/8-25/4=71п/8+25/4).

ссылка

отвечен 30 Июн '19 14:19

@falcao, огромное спасибо!

(1 Июл '19 6:15) froloalexei
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×532

задан
30 Июн '19 10:25

показан
404 раза

обновлен
1 Июл '19 6:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru