|
Даны векторное поле$$\overline{a} = \overline{a}(M)$$и две поверхности $$\sigma_{1} и \sigma_{2}$$. Вычислите 1) поток векторного поля $$\overline{a}(M)$$ через замкнутую поверхность σ, ограниченную поверхностями $$\sigma_{1} и \sigma_{2}$$ в направлении внешней нормали; 2) циркуляцию векторного поля $$\overline{a}(M)$$ вдоль линии L пересечения поверхностей $$\sigma_{1} и \sigma_{2}$$ в положительном направлении обхода относительно орта $$\overline{k} = (0; 0; 1).$$ $$\overline{a}(M) = (x - y)\overline{i} + z\overline{j} + y\overline{k}, \sigma_{1} : x^{2} + y^{2} = z^{2}, \sigma_{2}: x^{2} + y^{2} = 2 \ast z - 1$$ задан 27 Май '13 20:35 
Алексей123456 |
|
Поток поля $%\vec{a}$% через замкнутую поверхность, являющуюся объединением поверхностей $%\sigma_{1}$% и $%\sigma_{2},$% можно найти, используя теорему Гаусса-Остроградского $$\iint\limits_{\sigma_{1} \cup \sigma_{2}}{(\vec{a},\ \vec{n})\,d{\sigma}}=\iiint\limits_{V}{\operatorname{div}{\vec{a}}}\, dV$$ Для заданного поля $%\operatorname{div}{\vec{a}}=1,$% поэтому $$\iiint\limits_{V}{\operatorname{div}{\vec{a}}}\, dV=\iiint\limits_{V} dV.$$ Пересечением $%L$% поверхностей $%\sigma_{1}$% и $%\sigma_{2}$% является окружность $$L=\{(x,\ y,\ z)\colon\;\;\; x^2+y^2=1, \;\;\; z=1 \}.$$ По теореме Стокса циркуляция $$\oint\limits_{L}(\vec{a}, \,d\vec{r})=\iint\limits_{\sigma}{(\operatorname{rot}{\vec{a}},\ \vec{n})\,d{\sigma}},$$ где поверхность $%{\sigma}$% — это круг, ограниченный окружностью $%L:$% $${\sigma}=\{(x,\ y,\ z)\colon\;\;\; x^2+y^2<1, \;\;\; z=1 \},$$ с нормалью $%\vec{n} = (0; 0; 1),$% согласованной с заданным направлением обхода $%L.$% $$\operatorname{rot}{\vec{a}}=\left| \matrix{ \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial{x}} & \dfrac{\partial}{\partial{y}} & \dfrac{\partial}{\partial{z}} \\ x-y & z & y } \right| = \vec{k}. $$ Поэтому $$\iint\limits_{\sigma}{(\operatorname{rot}{\vec{a}},\ \vec{n})\,d{\sigma}}=\iint\limits_{\sigma}{1\,d{\sigma}}=2\pi.$$ отвечен 27 Май '13 21:38 
Mather |