Через вершины $%A$% и $%B$% треугольника $%ABC$% проведена окружность, пересекающая стороны $%BC$% и $%AC$% в точках $%D$% и $%E$% соответственно. Площадь треугольника $%CDE$% в $%7$% раз меньше площади четырехугольника $%ABDE$%. Найти $%DE$% и радиус окружности, если $%AB=4$% и угол $%ACB=45^{\circ}$%

задан 1 Июл 6:14

изменен 1 Июл 17:01

@froloalexei: проверьте условие. Тут фраза какая-то очень странная ("пересекающая стороны ... меньше площади").

(1 Июл 13:53) falcao

@falcao, подправил, теперь все верно. Извиняюсь за неаккуратность :(

(1 Июл 17:01) froloalexei
10|600 символов нужно символов осталось
2

Треугольник $%CDE$% подобен $%CAB$% по трём углам. Отношение площадей равно $%1:8$%, поэтому коэффициент подобия равен $%2\sqrt2$%. Отсюда $%DE=\sqrt2$%.

Полуразность угловых величин дуг $%AB$% и $%DE$% равна $%45$% градусам (достаточно провести через $%D$% прямую, параллельную $%AC$%, чтобы в этом убедиться. Пусть $%\varphi$% -- величина вписанного угла, опирающегося на $%DE$%. Тогда $%\varphi+45^{\circ}$% -- вписанный угол, опирающийся на $%AB$%. Если $%R$% -- радиус окружности, то по теореме синусов $%2R\sin\varphi=\sqrt2$% и $%2R\sin(\varphi+45^{\circ})=4$%, откуда $%\frac2R=\sin(\varphi+45^{\circ})=\frac1{\sqrt2}(\sin\varphi+\cos\varphi)$%, и $%\cos\varphi=\frac{2\sqrt2}R-\frac{\sqrt2}{2R}=\frac{3\sqrt2}{2R}$%. Из основного тригонометрического тождества имеем $%\frac1{2R^2}+\frac9{2R^2}=1$%, откуда $%R=\sqrt5$%.

ссылка

отвечен 1 Июл 19:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×672

задан
1 Июл 6:14

показан
81 раз

обновлен
1 Июл 19:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru