не понимаю, как доказать помогите пожалуйста Докажите, что ядро гомоморфизма коммутативного кольца с единицей на поле является максимальным идеалом, а факторкольцо коммутативного кольца с единицей по максимальному идеалу является полем.

задан 1 Июл 15:31

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это стандартный факт из учебника, хотя можно его доказать в качестве упраженения.

Пусть K -- коммутативное кольцо с единицей. Оно будет полем <=> любой ненулевой элемент обратим, то есть он порождает единичный идеал. Отсюда ясно, что в поле нет идеалов кроме 0 и K; обратное также верно, так как неединичный элемент a порождает K, и тогда a обратим.

Теперь пусть R -- произвольное коммутативное кольцо с 1, и пусть M -- собственный идеал в R. Он максимален <=> между M и R нет других идеалов. Пусть f:R->R/M=K -- естественный гомоморфизм. Каждому идеалу в K соответствует его полный прообраз. Это идеал в R, содержащий M. Теорема о гомоморфизмах (третья) гласит, что при этом получается взаимно однозначное соответствие между идеалами. Тогда M максимален <=> между M и R нет других идеалов <=> между 0 и K нет идеалов в K <=> K поле.

При желании, можно не пользоваться теоремой. Достаточно заметить, что M максимален <=> для любого x не из M, идеал (M,x) единичен, то есть единица представима в виде 1=rx+m для некоторых r из R, m из M. Это равносильно тому, что (r+M)(x+M)=1+M, то есть x+M обратим в факторкольце.

ссылка

отвечен 1 Июл 16:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×874
×23

задан
1 Июл 15:31

показан
55 раз

обновлен
1 Июл 16:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru