Требуется найти степени расширений [Q(2^(1/2),3^(1/3)):Q] и [Q(6^(1/2)):Q(2^(1/2))]

задан 2 Июл 14:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для второго случая: элемент 6^{1/2} является корнем многочлена x^2-6 над Q, а также над Q(2^{1/2}). Значит, степень расширения не больше 2. Чтобы степень была равна 2, достаточно доказать, что поля не совпадают. Это значит, что 6^{1/2} не равно a+b2^{1/2}, где a,b рациональны. Возводим в квадрат: 6=(a+b2^{1/2})^2=a^2+2b^2+2^{1/2}(2ab). Отсюда ab=0, a^2+2b^2=6. Если a=0, то b^2=3, а b=0 влечёт a^2=6. Это невозможно ввиду иррациональности корней из 3 и 6.

Первая задача: рассмотрим композицию расширений Q(2^{1/2},3^{1/3}):Q(2^{1/2}):Q. Второй "этаж" имеет степень 2, а первый тоже степень 2, что доказывается как в предыдущем пункте (3^{1/2} не принадлежит Q(2^{1/2}). Итого степень 4.

ссылка

отвечен 2 Июл 15:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×865

задан
2 Июл 14:29

показан
32 раза

обновлен
2 Июл 15:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru