3
1

Последовательность $%(a_{n})$% задана рекуррентно: $$a_{n} = \frac{a_{n+1} + a_{n-1} - 2}{2}$$

$%a_{8} = a_{40} = 0$%

Как найти $%a_{1}$% ? И можно ли выразить $%a_{n}$% через $%n$% ?

задан 3 Июл 13:54

1

Разность между соседними элементами увеличивается на 2: $%a_{n+1}-{a_n}=a_n-a_{n-1} +2$%
$%a_8=0, \, a_9 = x, \, a_{10} = 2x+2, \ldots, a_{8+n} = nx+2(n-1)$%

(3 Июл 14:53) spades

@spades Не заметил этого,спасибо.

(3 Июл 14:57) potter
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}+2$%, поэтому $%a_n-a_{n-1}$% есть арифметическая прогрессия с разностью $%2$%. Суммирование членов арифметической прогрессии даёт функцию, квадратично зависящую от $%n$%. Из условий $%a_8=a_{40}=0$% следует $%a_n=k(n-8)(n-40)$% для некоторой константы $%k$%.

Ввиду того, что $%a_n=k(n^2-48n+320)$% и $%a_{n-1}=k(n-9)(n-41)=k(n^2-50n+369)$%, имеем $%a_n-a_{n-1}=k(2n-49)$%, то есть $%k=1$%, так как разность прогрессии равна двум.

Итого $%a_n=(n-8)(n-40)$%, и легко видеть, что эта последовательность подходит (хотя это и так следует из сказанного, то есть можно не подставлять). В частности, $%a_1=273$%.

ссылка

отвечен 3 Июл 14:50

@falcao Спасибо.

(3 Июл 14:53) potter
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×302

задан
3 Июл 13:54

показан
101 раз

обновлен
3 Июл 14:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru