Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд: $$\sum_{n=1}^{+\infty}ln \big [sin(\frac{sin\space n}{n})+cos(\frac{cos \space n }{n})\big]$$

задан 3 Июл 19:11

Общий член ряда представляется в виде $%\dfrac{\sin n}{n}+O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$%. Второе слагаемое даёт абсолютно сходящийся ряд, поэтому исходный ряд ведёт себя также, как ряд от первого слагаемого, т.е. сходится условно.

(3 Июл 20:29) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку обе дроби стремятся к нулю, имеют место асимптотические разложения $%\sin\left(\frac{\sin n}n\right)=\frac{\sin n}n+O(\frac1{n^3})$% и $%\cos\left(\frac{\cos n}n\right)=1+O(\frac1{n^2})$%. Отсюда $%\ln\left(\sin\left(\frac{\sin n}n\right)+\cos\left(\frac{\cos n}n\right)\right)=\frac{\sin n}n+O(\frac1{n^2})$%. Ряд из $%\frac{\sin n}n$% сходится по признаку Дирихле; второе слагаемое сходится абсолютно. Поэтому ряд из условия сходится, но абсолютной сходимости нет, так как её нет для упомянутого выше ряда.

ссылка

отвечен 3 Июл 20:21

@falcao, пока чай пил, набрал практически то же, что и Вы))

(3 Июл 20:31) caterpillar

@caterpillar: да, тут задача только по виду "забористая", а на самом деле ход мысли вполне стандартный.

(3 Июл 21:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×658
×355

задан
3 Июл 19:11

показан
50 раз

обновлен
3 Июл 21:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru