Как решить неравенство? $$ 0≥2cos(arcsinx)-sin(\frac{1}{2}arccosx)$$

задан 4 Июл 14:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

Придумаем решение вообще без проверки ОДЗ и почти не задумываясь об интервалах положительности и отрицательности арксинусов синусов итд. Для чего до последнего упрощаем лишь эквивалентными преобразованиями:

$%0\ge2\cos(\arcsin(x))-\sin(\frac{\arccos(x)}{2})$%

$%0\ge2\sin(\arccos(x))-\sin(\frac{\arccos(x)}{2})$% //переходим к одинаковому аргументу

$%0\ge4\sin(\frac{\arccos(x)}{2})\cos(\frac{\arccos(x)}{2})-\sin(\frac{\arccos(x)}{2})$% //переходим к совсем одинаковому аргументу

$%\frac{1}{4}\ge\cos(\frac{\arccos(x)}{2})$% // при делении учли одно выпадающее решение $%\sin(\frac{\arccos(x)}{2})=0$% и очевидную неотрицательность $%\sin(\frac{\arccos(x)}{2})$%

Ввиду монотонного убывания арккосинуса и очевидной неотрицательности правой части, последнее эквивалентно:

$%\arccos\frac{1}{4}\le\frac{\arccos(x)}{2}$%

Ввиду монотонного убывания косинуса на ОДЗ arccos(x), последнее эквивалентно:

$% \begin{cases} \cos(2\arccos\frac{1}{4})\ge x, \\ x \in[1,-1]. \end{cases} $%

или

$%\cos(2\arccos\frac{1}{4})\ge x \ge -1$% это и есть ответ (вместе с ранее учтенным x=1)

ссылка

отвечен 4 Июл 19:45

изменен 4 Июл 19:46

10|600 символов нужно символов осталось
2

Прежде всего, $%\cos(\arcsin x)=\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$%, поэтому неравенство переписываем в виде $%\sin\left(\dfrac{1}{2}\arccos x\right)\geq2\sqrt{1-x^2}$%. Чтобы неравенство имело решения необходимо $%1-x^2\geq0$% и $%2\sqrt{1-x^2}\leq1$%. Решая эти простейшие неравенства, получаем $%x\in\left[-1,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt3}{2},1\right]$%.

Далее, домножим обе части исходного неравенства на $%2\cos\left(\dfrac{1}{2}\arccos x\right)\geq0$% и воспользуемся формулой синуса двойного угла. Получим $%\sqrt{1-x^2}\geq4\sqrt{1-x^2}\cos\left(\dfrac{1}{2}\arccos x\right)$%. Заметим, что точки $%x=\pm1$% являются решением исходного неравенства, что проверяется подстановкой. Теперь мы можем сократить корень, считая, что $%x\ne\pm1$%. Тогда $%\cos\left(\dfrac{1}{2}\arccos x\right)\leq\dfrac{1}{4}$%. Отсюда, учитывая, что при нашем ОДЗ как косинус, так и арккосинус убывают, получаем: $%\arccos\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{2}\arccos x<\dfrac{\pi}{2}$% и $%-1< x\leq\cos\left(2\arccos\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{7}{8}$%. Строгие неравенства -- в силу того, что точку $%x=-1$% мы из рассмотрения исключили (хотя не страшно, если напишем нестрогие, они всё-равно часть ответа). Ответ: $%x\in\left[-1,-\dfrac{7}{8}\right]\cup\{1\}$%.

ссылка

отвечен 4 Июл 17:15

изменен 4 Июл 17:30

@caterpillar: вот а в этот раз я несколько промедлил (долго набирал текст). Правда, тут уже ход мысли не так сильно совпал, как можно было бы предполагать :)

(4 Июл 17:40) falcao

@falcao, я сам долго набирал, около часа, всё время что-то отвлекало))

(4 Июл 17:42) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
1

По условию, $%x\in[-1,1]$%. Обозначим $%z=\frac12\arccos x$%. Тогда $%2z\in[0,\pi]$%, и $%x=2\cos z=1-2\sin^2z$%. Синус неотрицателен на рассматриваемом отрезке, откуда $%\sin(\frac12\arccos x)=\sin z=\sqrt{\frac{1-x}2}$%.

Теперь заметим, что $%x=\cos2z=\sin(\frac{\pi}2-2z)$%, откуда $%\arcsin x=\frac{\pi}2-2z$% с учётом того, что величина под знаком синуса принадлежит $%[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]$%. Получаем, что $%\cos(\arcsin x)=\cos(\frac{\pi}2-2z)=\sin2z=\sqrt{1-x^2}$% с учётом неотрицательности $%\sin2z$% на отрезке $%[0,\pi]$%.

Таким образом, неравенство принимает вид $%0\ge2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{\frac{1-x}2}$%, то есть $%2\sqrt{1-x^2}\le\sqrt{\frac{1-x}2}$%.

Обе части неравенства. неотрицательны; возводим в квадрат: $%4(1-x)(1+x)\le\frac{1-x}2$%, что равносильно $%(1-x)(8x+7)\le0$%. На отрезке от $%-1$% до $%1$% это приводит к ответу $%x\in[-1,-\frac78]\cup\{1\}$%.

ссылка

отвечен 4 Июл 17:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×878
×414
×2

задан
4 Июл 14:18

показан
88 раз

обновлен
4 Июл 19:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru