Пусть функция $%f \in C^1[0,1]$% и функция $%g \in C(\mathbb{R})$% - периодическая с периодом 1. Доказать, что $$ \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 f(x)g(nx)dx = 0$$

задан 6 Июл 17:16

Mожет быть доказано: Если функция $%g \in C[0,+\infty)$% и $% \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = A \in \mathbb{R}$%, то говорят что $% \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 g(nx) = A $%. Hо я не знаю, как закончить доказательства.

(6 Июл 17:38) miljan
1

$$\lim_{n→+\infty}\int_0^1f(x)g(nx)dx=\int_0^1f(x)dx\int_0^1g(x)dx.$$

(6 Июл 17:43) EdwardTurJ

@EdwardTurJ Почему равенство действительно?

(6 Июл 17:51) miljan
10|600 символов нужно символов осталось
0

По поводу леммы в комментариях. Это аналог того факта, что если член последовательности к чему-то стремится на бесконечности, то среднее арифметическое первых $%n$% членов имеет такой же предел.

Переходя от функции $%g(x)$% к $%g(x)-A$%, сводим задачу к случаю, когда предел функции на бесконечности равен нулю, то есть далее считаем $%A=0$%.

Если непрерывная функция стремится к нулю на бесконечности, то можно выбрать точку $%x_0$% такую, что $%|g(x)| < \varepsilon/2$% при $%x\ge x_0$%. Рассмотрим достаточно большое натуральное $%n > x_0$%. Тогда $%\int\limits_0^1g(nx)\,dx=\frac1n\int\limits_0^1g(nx)\,d(nx)=\int\limits_0^ng(z)\,dz=\frac1n\int\limits_0^{x_0}g(z)\,dz+\frac1n\int\limits_{x_0}^ng(z)\,dz$%.

Первое слагаемое стремится к нулю при $%n\to\infty$%, так как $%x_0$% не зависит от $%n$%, то есть оно по модулю меньше $%\varepsilon/2$% при $%n\gg1$%. Второе слагаемое по модулю не превосходит $%\frac{n-x_0}n\varepsilon/2 < \varepsilon/2$%. Итого модуль интеграла $%\int\limits_0^1g(nx)\,dx$% меньше $%\varepsilon$% при достаточно больших $%n$%.

ссылка

отвечен 6 Июл 17:59

@falcao, ничего не понимаю. Откуда известно, что g имеет хоть какой-то предел и зачем непрерывная дифференцируемость f? Или первый комментарий является продолжением условия задачи?

(6 Июл 18:08) caterpillar

@caterpillar Первый комментарий - это лемма, которую я пытался использовать, чтобы доказать проблему.

(6 Июл 18:35) miljan

@falcao Почему предел функции g(x) на бесконечности равен нулю?

(6 Июл 18:39) miljan

@caterpillar: я так понял, утверждение сводится к лемме из комментария, поэтому только на него и отвечал.

@miljan: если g(x)->A, то g(x)-A->0, и далее я заменяю в обозначениях g(x) на g(x)-A, что стремится к нулю. Этот стандартный упрощающий приём.

(6 Июл 21:27) falcao

@miljan, @falcao, по-моему, данная лемма тут вообще ни к месту. Возьмём, к примеру, функцию g(x)=sin(2pix), которая удовлетворяет условиям задачи, но предела на бесконечности не имеет. Кроме того, если верить @EdwardTurJ (до его ответа я пока не додумался), то условие вообще некорректно.

(7 Июл 8:17) caterpillar

@caterpillar: я думаю, тут надо воспроизвести само рассуждение, которое сводит одно к другому. Скорее всего, лемма применяется к какой-то другой функции, которая имеет предел на бесконечности. Она здесь имеет такое же обозначение, но это должна быть другая функция.

(7 Июл 11:41) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,169

задан
6 Июл 17:16

показан
136 раз

обновлен
7 Июл 11:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru