Пусть $% f(x)\int\limits_x^{\infty}tg(t)dt \equiv const$% где f(x) монотонно возрастает и g(t) монотонно убывает на положительной полуоси.

Докажите что $% f(x)\int\limits_x^{\infty}g(t)dt$% монотонно убывает на положительной полуоси.

задан 7 Июл 1:30

изменен 7 Июл 17:56

Это полное условие? Что-то известно про функции f и g кроме монотонности?

(7 Июл 8:18) caterpillar

@abc: функция под знаком интеграла воспринимается поначалу как тангенс :)

(7 Июл 11:43) falcao

Задачку сам придумал, доказывается вроде просто. f,g непрерывны. Дополнительные условия на g задать можно. Скажем пусть g>0 и хорошая функция, то есть имеет производные и все такое. Но интересно нужны ли эти условия.

(7 Июл 17:56) abc

Вот примерно таких условий и не хватало. Стоило сразу отразить это в постановке задачи, а вопрос поставить: могут ли условия быть ослаблены.

(8 Июл 10:11) caterpillar

Да постановка должна быть максимально дружелюбной если уважаешь труд отвечающих, чтобы они не ковырялись лишний раз в условии. Но тут уж или вылизывать формулировку до упора или отдать на откуп как совесть позволяет. Мне вот позволила :) Ну хоть я не тролль и не спамщик уже скажите спасибо :)

(8 Июл 13:22) abc
10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%G(x)=\int\limits_x^{\infty}g(t)\,dt$% и $%H(x)=\int\limits_x^{\infty}t\cdot g(t)\,dt$%. При этом имеют место тождества $%G'(x)=-g(x)$% и $%H'(x)=-xg(x)$%.

Здесь фактически требуется доказать, что $%\frac{G(x)}{H(x)}$% убывает при $%x > 0$%. Находим производную частного: $%\frac{-g(x)H(x)+xg(x)G(x)}{H(x)^2}$%. Проверим, что она отрицательна, используя условие $%g(x) > 0$%. Это значит, что надо установить неравенство $%xG(x) < H(x)$%. Обе части суть несобственные интегралы от $%x$% до бесконечности, и неравенство следует из того, что $%xg(t) < tg(t)$% на луче, по которому мы интегрируем.

ссылка

отвечен 7 Июл 20:05

Да как-то так я и доказывал. Только брал производную не от частного, а от $%f(x)\int\limits_x^{\infty}g(t)dt$%. Но хотелось бы доказать вообще без производной, ведь изначально задача очевидная без всяких производных.

(7 Июл 20:20) abc

@abc: наверное, без производной доказать можно, рассматривая приращение частного. Правда, я в этом не вижу смысла, потому что в условии даны интегралы, а это означает, что производные заведомо изучены.

(7 Июл 20:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,156

задан
7 Июл 1:30

показан
76 раз

обновлен
8 Июл 13:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru