$%\int\limits_0^{y}\cos(x)\cos(\frac{1}{x})dx$%

задан 7 Июл 1:50

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть $%f(y)=\displaystyle\int\limits_0^y\cos x\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)dx$%. Заметим, что в окрестности нуля интеграл сходится, ибо $%\left|\cos x\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\leq1$%, поэтому $%\lim\limits_{y\to0}f(y)=0$%. Тем самым, наша функция ограничена в окрестности нуля. Осталось показать, что она ограничена за пределами окрестности нуля. Можно считать, что $%y\geq1$%. Имеем, $$f(y)=\displaystyle\int\limits_0^1\cos x\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)dx+\displaystyle\int\limits_1^y\cos x\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)dx=C+\displaystyle\int\limits_1^y\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)d\sin x=C+\sin y \cos\left(\dfrac{1}{y}\right)-$$

$$-\sin 1 \cos1-\displaystyle\int\limits_1^y\sin x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{dx}{x^2}.$$ Отсюда следует, что $%|f(y)|\leq|C|+2+\displaystyle\int\limits_1^y\dfrac{dx}{x^2}=|C|+3-\dfrac{1}{y}\leq C_1.$% Аналогично рассуждаем при $%y\leq-1$%.

ссылка

отвечен 7 Июл 8:12

Как обычно интегрирование по частям помогло выделить главную часть которая ограничена и остаточную интегральную часть которой можно пренебречь.

(7 Июл 18:04) abc
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,156

задан
7 Июл 1:50

показан
53 раза

обновлен
7 Июл 18:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru