Я воспользовался тождеством : arcctgx = π/2 - arctgx и получил один корень : x = 1. Но у этого уравнения есть еще один корень : x= -1. Почему он потерялся ? alt text

задан 8 Июл 15:42

1

Корня $%x=-1$% нет, поскольку $$ \text{arcctg}\,(-1)=\frac{3\pi}{4}\neq -\frac{\pi}{4} = \text{arctg}\,(-1) $$ Смотрите внимательнее на области значений функций...

(8 Июл 15:47) all_exist

@all_exist Точно ,спасибо.Я проверял здесь:https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctgx+%3D+arcctgx

Там почему-то есть еще x=-1

(8 Июл 15:53) old

@all_exist А еще я решал так: На общем промежутке $%(0 ; π/2)$% , тангенс возрастает ,значит можно записать: tg(arctgx) = tg(arcctgx) , откуда x= 1/x , и x =+-1. Откуда здесь взялся лишний корень ?

(8 Июл 16:05) old

@old, взгляните на график tg(arcctg(x)). При переходе к следствию надо тоже учитывать ОДЗ.

(8 Июл 16:59) caterpillar

@old: Вольфрам неверно строит график арккотангенса. Эту программу лучше для таких целей не использовать. Там даже обозначения arccot нет; такая функция "у них" не относится к числу "основных".

(8 Июл 19:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я бы при работе с "аркфункциями" советовал всегда опираться на определения. Это позволяет исключить типичные ошибки. Каждая такая функция определяется как обратная для некоторой "ветви" обычной тригонометрической функции, которую полезно всегда иметь "в поле зрения". Например, арктангенс -- здесь надо сначала взять "ветвь" тангенса на интервале $%(-\pi/2,\pi/2)$%, который при этом монотонно отображается на всю числовую прямую. Поэтому равенство $%y=\arctan x$% равносильно системе из трёх условий: $%x\in\mathbb R$% (что не несёт информации и может быть отброшено, но в случае других функций такое условие тоже надо иметь в виду); $%y\in(-\pi/2,\pi/2)$% (что надо не забывать); $%\tan y=x$% (как нечто "очевидное").

Заметим, что $%y=\arctan x$% всегда влечёт $%\tan y=x$%, и от одного к другому всегда можно переходить в качестве следствия. Обратно же, если дано $%\tan y=x$%, то "пропуском" к арктангенсу является условие $%y\in(-\pi/2,\pi/2)$%. Если оно не выполнено, нужно пользоваться периодичностью и искать другое "игрек" с тем же значением тангенса, но уже в пределах указанного интервала.

Для котангенса у нас "основным" будет интервал $%(0,\pi)$%, отображаемый биективно на $%\mathbb R$%. Поэтому здесь условие $%y={\rm arcctg\,}x$% будет равносильно системе из $%y\in(0,\pi)$% и $%\cot y=x$%.

Решая уравнение $%\arctan x={\rm arcctg\,}x$%, мы вводим переменную $%y$%, равную тому и другому, приходя далее к условиям $%y\in(-\pi/2,\pi/2)$%, $%y\in(0,\pi)$%, $%x=\tan y=\cot y$%. То есть мы имеем равенство тангенса и котангенса для острого угла $%y\in(0,\pi/2)$%. Из единичной окружности мы сразу приходим к единственному варианту $%y=\pi/4$%, откуда $%x=1$% даёт единственное решение.

Пример тут совсем элементарный, но я решил написать подробно, чтобы описать в деталях сам подход. Лично я всегда при решении задач на эту тему применяю именно такие соображения.

ссылка

отвечен 8 Июл 18:53

@falcao Спасибо!

(8 Июл 19:15) old

@old, но было бы полезно всё-таки разобраться, откуда появился "лишний" корень в рассуждении с переходом к тангенсам. Тем более, это совсем просто, надо только учитывать, откуда берётся x.

(8 Июл 19:23) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×878

задан
8 Июл 15:42

показан
68 раз

обновлен
8 Июл 19:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru