Дана прямоугольная трапеция ABCD с прямыми углами A и D (AB > CD). Известно, что биссектриса угла ABC пересекает AD в середине. Докажите, что BC=AB + CD.

задан 8 Июл 17:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Пусть $%DF = FA = x$% , $%∠CBF = ∠FBA = \alpha$% , $%CE - $% высота.

Тогда:

$%BC = \frac{2x}{\sin 2\alpha}$%

$%BE = \frac{2x}{\tan 2\alpha}$%

$%AB = \frac{x}{\tan \alpha}$%

$%DC = AB - BE = \frac{x}{\tan \alpha} - \frac{2x}{\tan 2\alpha} = \frac{x}{\tan \alpha} - \frac{x(1- \tan^2 \alpha)}{\tan \alpha} = x \tan \alpha$%

$$AB + CD = \frac{x}{\tan \alpha} + x \tan \alpha = \frac{x(1+ \tan^2 \alpha)}{\tan \alpha} = \frac{x}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2x}{\sin 2\alpha} = BC$$

ссылка

отвечен 8 Июл 20:09

изменен 8 Июл 21:21

@potter: а как получилось равенство DC=x tan a?

(8 Июл 20:58) falcao
1

@falcao $%DC = AB - BE = \frac{x}{\tan \alpha} - \frac{2x}{\tan 2\alpha} = \frac{x}{\tan \alpha} - \frac{x(1- \tan^2 \alpha)}{\tan \alpha} = x \tan \alpha$%

Отсюда следует ,что $%∠DFC = \alpha $% и $%∠CFB = 90°$%

(8 Июл 21:14) potter

Поверните по часовой стрелке $%\triangle AFB $% вокруг точки $%F $%)

(8 Июл 23:28) Sergic Primazon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×891

задан
8 Июл 17:35

показан
103 раза

обновлен
8 Июл 23:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru