Предположим, имеется множество $%\mathbb{N}'$% - альтернатива натуральным числам, $%0'$% - нуль в этом множестве, и имеется некоторая операция приращения, которая берет $%n' \in \mathbb{N}'$% и возвращает $%n'++' \in \mathbb{N}'$%, так что все аксиомы Пеано выполняются, а натуральные числа, ноль и приращение заменяются их альтернативными аналогами. Показать, что существует биекция $%f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}'$%, такая, что $%f(0) = 0'$%, и $%\forall n, n': n \in \mathbb{N}, n' \in \mathbb{N'}, f(n) = n' \iff f(n++) = n'++'$%. Тут предполагается доказательство по индукции.


Моя версия решения: покажем, что $%\forall N \in \mathbb{N}\, \exists\,f_N:\{n \in \mathbb{N}|\,n\leqslant N\} \to A_N, A_N \subset \mathbb{N}'$%, причем $%f$% - биекция и $%f_N(0) = 0'\subset A_N$% и $%\forall n < N, n': n \in \{n \in \mathbb{N}|\,n\leqslant N\}, n' \in A_N, f(n) = n' \iff f(n++) = n'++'$%
База индукции: $%N = 0$%, $%f_0: \{0\} \to \{0'\}, f_0(0) = 0'$% - биекция, условию удовлетворяет.

Шаг индукции: пусть для $%N = k$% такая функция существует.

Тогда для $%N = k+1$% возьмем функцию $%f_{k+1}(n) = f_k(n)\, \forall n, n< k+1$%, a $%f_{k+1}(k++) = f_{k+1}(k+1) = k'++', A_{k+1} = A_k \cup \{k+1\}$%, и, т.к. в альтернативном множестве натуральных чисел выполняются акисомы Пеано, то $%k'++' \not\in A_k$%, следовательно, $%f_{k + 1}$% - биекция.

Тут все правильно, нужно дополнить что или уточнить?

задан 11 Июл 5:35

@GVolskiy: тут какие-то очень странные обозначения. Если N' -- копия N, то через +' можно обозначить копию сложения на N. Что тогда такое n'++', как это следует понимать?

По-моему, тут надо начинать с введения удачной системы обозначений, и тогда доказательство само получится.

(11 Июл 9:36) falcao

@falcao, такое ощущение, что писал программист.. ))) ... и имел ввиду, что $%i++$% это переприсвоение $%i:=i+1$% ... )))

(11 Июл 10:07) all_exist

@all_exist: я даже при таком предположении смысла этих записей не понимаю.

В удачных обозначениях тут и доказывать нечего -- это самоочевидный факт.

(11 Июл 10:56) falcao

@all_exist, @falcao, обозначения авторские, книжка написана математиком. n++ обозначает следующее за n число. В википедии, например, используется S(n), где S(n) - функция следования, обозначающее то же, что и n++. @falcao, не совсем понимаю, честно говоря, как Ваше переобозначение упрощает доказательство. Сам я хотел доказать утверждение, не выходя за рамки предшествующего в учебнике материала. (пользуясь аксиомами Пеано, свойствами функций, аксиомами теории множеств).

(11 Июл 12:14) GVolskiy
1

@GVolskiy: мне, конечно, такая интерпретация бы никогда в голову не пришла -- что последующий элемент обозначен двумя плюсами на манер c++ :) Обычно это или "штрих", который здесь занят, или s(n).

Теперь смысл обозначений ясен. Доказательство, наверное, как-то примерно так и выглядит. Правда, содержательного смысла во всём этом мало -- тут чисто формальное рассуждение присутствует.

(11 Июл 17:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×702
×532
×214

задан
11 Июл 5:35

показан
44 раза

обновлен
11 Июл 17:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru