При каком действительном a существует многочлен 100 степени, удовлетворяющий соотношению

P(x) - P(2014 - x) = 1914x + a

Какие разделы математики мне следует изучить, чтобы научиться решать подобные задачи?

задан 12 Июл '19 12:02

10|600 символов нужно символов осталось
2

Школьной математики для решения таких задач обычно бывает достаточно.

Здесь нам дано тождество, верное при любых x. Поэтому можно подставлять любые значения переменной. Напрашивается подстановка x=1007, когда левая часть обращается в ноль. Из этого следует, что единственное значение a, которое может подойти, равно a=-1914*1007=-1927398.

Осталось показать, что для данного значения существует многочлен P степени 100, для которого выполняется тождество P(x)-P(2014-x)=1914(x-1007).

Легко видеть, что для P(x)=x в правой части получится 2(x-1007), а это означает, что P(x)=957x даст 1914(x-1007). Но нам здесь нужен многочлен степени 100, поэтому достаточно подобрать его таким, чтобы в правой части оказался тождественный ноль, и далее прибавить к нему 957x. Ноль в правой части получается при условии P(x)=P(2014-x), и таким свойством обладает многочлен x(2014-x), как и любые его степени. Возводим в степень 50, чтобы получить многочлен степени 100. Окончательно имеем P(x)=(x(2014-x))^{50}+957x.

ссылка

отвечен 12 Июл '19 18:47

Большое спасибо за развернутый ответ.

(12 Июл '19 19:19) pavelsamson96
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,071

задан
12 Июл '19 12:02

показан
864 раза

обновлен
12 Июл '19 19:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru