Найдите все значение x , при котором данная система неравенств действительна.

(log[x,y] - логарифм y по основанию x)

y >= 4x^2

(y-x)(log[x,y]) >= 0

задан 15 Июл '19 13:40

изменен 15 Июл '19 13:46

данная система неравенств действительна -- в смысле, имеет хотя бы одно решение? Если да, то лучше так и говорить.

(15 Июл '19 18:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ясно, что $%x > 0$%, $%x\ne1$% по свойству основания логарифма. Рассмотрим два случая.

1) $%x > 1$%. Здесь $%y\ge4x^2 > 4x > x$%, поэтому $%y-x > 0$%, а также $%y\ge4x^2 > 4 > 1$%. Логарифмическая функция с рассматриваемым основанием возрастает, и $%\log_xy > \log_x1=0$%. Поэтому произведение $%(y-x)\log_xy$% положительно. Любое $%y\ge4x^2$% будет решением.

2) $%0 < x < 1$%. Если $%y=1$% удовлетворяет первому неравенству, то оно будет решением системы, так как логарифм при этом равен нулю, и второе неравенство превращается в равенство. Поэтому при $%1\ge4x^2$%, то есть при $%x\le\frac12$%, мы получим решение.

Теперь пусть $%\frac12 < x < 1$%. Здесь $%y\ge4x^2 > 1$%, а также $%y\ge4x^2 > 2x > x$%. Поэтому $%y-x > 0$%, а логарифмическая функция здесь убывает, и $%\log_xy < \log_x1=0$%. Тем самым, произведение $%(y-x)\log_xy$% всегда отрицательно. Решений здесь нет.

Итого $%x\in(0,\frac12]\cup(1,+\infty)$%.

ссылка

отвечен 15 Июл '19 18:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×491
×2

задан
15 Июл '19 13:40

показан
222 раза

обновлен
15 Июл '19 18:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru