Пределы интеграла от 0 до бесконечности. Сам интеграл от функции $%1/(x^{13} +1)$%

задан 28 Май '13 19:00

изменен 5 Июн '13 21:16

Angry%20Bird's gravatar image


9125

@fiasko, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(29 Май '13 0:10) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим искомый интеграл $%I=\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^{13}+1}$%...

Рассмотрите интеграл $%\int_{\Gamma} \frac{dz}{z^{13}+1}$% по контуру $%\Gamma=\gamma_{+}\cup\gamma_{-}\cup C_R$%, где $$\gamma_{\pm}=\{z:\;|z|\le R,\; \arg z = \pi\pm \alpha\},\quad C_{R}=\{z:\;|z|=R,\; \pi-\alpha\le\arg z\le\pi+\alpha\},$$ выбирая $%\alpha$% так, чтобы $$13(\pi-\alpha)=2\pi k, \quad 13(\pi+\alpha)=2\pi (k+1).$$ Тогда внутри контура будет находиться один простой полюс подынтегральной функции в точке $%z=-1$% и $%\int_{\Gamma} \frac{dz}{z^{13}+1} = 2\pi i \;Res_{z=-1}\frac{1}{z^{13}+1}$%, при этом вычет легко находится...

Покажите, что $%\int_{C_R} \frac{dz}{z^{13}+1}\to 0$% при $%R\to+\infty$%... а $%\int_{\gamma_{\pm}} \frac{dz}{z^{13}+1}\to \mp e^{i(\pi\pm\alpha)}I$% при $%R\to+\infty$%...

Итого получаем, что $%I\cdot2i\cdot Im\left(e^{i(\pi-\alpha)}\right)=2\pi i\;Res_{z=-1}\frac{1}{z^{13}+1}$%...

ссылка

отвечен 28 Май '13 20:34

изменен 29 Май '13 6:26

Спасибо большое,а альфа=2pi/13? Объясните пожалуйста последнюю строчку,понятно откуда получилось I*2,а почему от e нужно брать только действиетльную часть...И,если не трудно, можно пояснить,почему интегралы по гамма стремятся именно к такой exp...

(28 Май '13 23:06) fiasko

а почему от e нужно брать только действительную часть - $%z+\bar{z}=2\cdot Re \;z$%...

И,если не трудно, можно пояснить,почему интегралы по гамма стремятся именно к такой exp... - Они не стремятся к такой экспоненте... если Вы подставите $%z=R e^{\varphi\; i}$%, то экспонента появится как множитель, а остальной интеграл в пределе будет давать искомый...

(28 Май '13 23:31) all_exist

теперь все понятно,спасибо большое!

(28 Май '13 23:55) fiasko

Хороший способ, только надо чуть подправить вычисления в конце. Там нужно учесть знаки выражений, а также множитель $%1/(2\pi i)$% перед интегралом. В ответе будет $%\alpha/\sin\alpha$%, где $%\alpha=\pi/13$%. По величине это чуть больше единицы.

(29 Май '13 3:00) falcao

@falcao, Спасибо за замечание... Решение писал сходу, поэтому и $%2\pi i$% пропустил ... и забыл учесть направление обхода (тогда получится мнимая часть экспоненты)... В общем поправил решение...

(29 Май '13 6:30) all_exist

Да, теперь всё ОК!

(29 Май '13 13:38) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×156
×147
×40

задан
28 Май '13 19:00

показан
1004 раза

обновлен
5 Июн '13 20:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru