1) $%\textbf{Теорема}$%. Если $%M$% - подмножество группы $%G$%, то $%\langle M\rangle\ =\left\{a_1^{\alpha_1}\dots a_m^{\alpha_m} \ |\ a_i\in M,\ \ \alpha_i=\pm1,\ m=1,2,\dots\right\}$%

Что имеется в виду под произведением $%a_1^{\alpha_1}\dots a_m^{\alpha_m}$%? Мы берем любые элементы из $%M$% (некоторые по несколько раз), расставляем их в произвольном порядке и всеми возможными такими комбинациями получаем $%\langle M \rangle$%?

2) Доказать, что $%S_n=\langle(12)(12\dots n)\rangle$%. Предполагаю,что это доказывается по индукции.

$%(12\dots n\ n+1)$% можно представить как $%(1\ n+1)(12\dots n)$%.

$%(12)(12\dots n)$% порождают $%S_n$%. Далее как-то с помощью $%S_n, (1\ n+1)$% нужно получить $%S_{n+1}$%. Направьте, пожалуйста.

задан 17 Июл '19 11:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Берутся всевозможные произведения элементов из M или им обратных, как и написано в формуле (показатели равны +1 или -1). Количество сомножителей любое, повторять элементы можно. Если ограничиться только произведениями, без обратных, то получится полугруппа, порождённая M.

2) Здесь переход от n к n+1 ничего не даёт. Надо вспомнить, что S_n порождается транспозициями, и далее выразить эти транспозиции через a=(12) и b=(12...n). Если рассмотреть сопряжённый элемент b^{-i}ab^i, то получится транспозиция (i+1,i+2) двух соседних элементов (i>=0, суммирование по модулю n). Через такие транспозиции выражаются все остальные. Это ясно из тех соображений, что если у нас стоят на полке тома энциклопедии, и нам разрешено переставлять два соседних, то любые два тома можно переставить. Более формально: (13)=(12)(23)(12); (14)=(12)(23)(34)(23)(12); и так далее.

ссылка

отвечен 17 Июл '19 17:30

@falcao, круто, спасибо!

(18 Июл '19 10:19) make78
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,187

задан
17 Июл '19 11:27

показан
180 раз

обновлен
18 Июл '19 10:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru