Посчитать определенный интеграл. $$\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^6(x)\cdot \cos(6x)dx$$

задан 17 Июл '19 17:11

изменен 17 Июл '19 17:11

Можно долго считать, раскладывая cos^6x, а в итоге почти все занулится, может быть есть варианты проще?

(17 Июл '19 17:12) classman
10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно проще, если привлечь комплексные числа. Пусть $%z=e^{ix}=\cos x+i\sin x$%. Тогда $%\cos x=\frac{z+z^{-1}}2$%, $%\cos6x=\frac{z^6+z^{-6}}2$%. Функция под знаком интеграла равна $%\frac1{2^7}(z+z^{-1})^6(z^6+z^{-6})$%. После раскрытия скобок получится многочлен от $%z$% и $%z^{-1}$%. Легко видеть, что свободный член получается или как $%z^6\cdot z^{-6}$%, или как $%z^{-6}\cdot z^6$%, то есть двумя способами. Поэтому функция будет равна $%\frac{2+a(z^2+z^{-2})+b(z^4+z^{-4})+\cdots+c(z^{12}+z^{-12})}{2^7}$%. Иными словами, будет $%\frac1{2^6}+A\cos2x+B\cos4x+\cdots+C\cos12x$% для некоторого набора коэффициентов. Интегралы от косинусов равны нулю, и это даст ответ $%\frac{\pi}{128}$%.

ссылка

отвечен 17 Июл '19 18:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×242
×26

задан
17 Июл '19 17:11

показан
380 раз

обновлен
18 Июл '19 19:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru