Вычислить интегралы:$$a) \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n(x)\cdot \cos(nx)dx=\big[\frac{\pi}{2^{n+1}}-?\big];\ b)\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n(x)\cdot \cos((n+2)x)dx.$$

задан 19 Июл '19 10:34

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обе задачи решаются тем же способом, что и эта.

Полагая $%z=e^{ix}$%, имеем $%\cos^nx\cos nx=(\frac{z+z^{-1}}2)^n\cdot\frac{z^n+z^{-n}}2$%. При раскрытии скобок в произведении $%(z+z^{-1})^n$% получается $%z^n+\cdots+z^{-n}$%, где остальные показатели степени имеют ту же чётность, что и $%n$%. После домножения на $%z^n+z^{-n}$% получается свободный член 2, и линейная комбинация выражений вида $%z^k+z^{-k}$% с чётным значением $%k$%. Тем самым, в пункте а) функция равна $%\frac1{2^n}+A\cos2x+B\cos4x+\cdots$%, и интегрирование по отрезку даёт $%\frac{\pi}{2^{n+1}}$% при всех $%n$%.

В пункте б) отличие в том, что домножение происходит на $%z^{n+2}+z^{-(n+2)}$%, и свободный член там равен нулю. Остальное даёт линейную комбинацию выражений вида $%z^k+z^{-k}$% с чётным значением $%k$%, поэтому интеграл в пункте б) равен нулю.

Интерес, на мой взгляд, представляет случай, когда домножение происходит на $%\cos((n+1)x)$%. Тогда в ответе будут получаться рациональные числа.

ссылка

отвечен 20 Июл '19 1:45

изменен 20 Июл '19 1:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

До кучи... но всё, но что-нибудь...

Комментарий я свой убил, поскольку до этого напутал со знаками... но интегрирование по частям всё равно отчасти помогает...

Если два раза проинтегрировать по частям первый интеграл, то внеинтегральные слагаемые будут равны нулю (поэтому я их не буду писать)... итого получим, что $$ I=\int\limits_{0}^{\pi/2} \cos^n x\cdot\cos nx \;dx = \int\limits_{0}^{\pi/2} \cos^n x\cdot\left(\frac{\sin nx}{n}\right)' \;dx = $$ $$ = \int\limits_{0}^{\pi/2} n\cdot \cos^{n-1} x\cdot\sin x\cdot \frac{\sin nx}{n} \;dx = \int\limits_{0}^{\pi/2} \cos^{n-1} x\cdot\sin x\cdot \left(\frac{-\cos nx}{n}\right)' \;dx = $$ $$ = \int\limits_{0}^{\pi/2} \Big((n-1)\cdot \cos^{n-2} x\cdot(-\sin^2 x) + \cos^n x \Big) \cdot \frac{\cos nx}{n} \;dx =
$$ $$ = \int\limits_{0}^{\pi/2} \Big((n-1)\cdot \cos^{n-2} x\cdot(\cos^2 x - 1) + \cos^n x \Big) \cdot \frac{\cos nx}{n} \;dx =
$$ $$ = I-\frac{n-1}{n} \cdot\int\limits_{0}^{\pi/2} \cos^{n-2} x\cdot\cos nx \;dx
$$ Откуда $$ \frac{n-1}{n} \cdot\int\limits_{0}^{\pi/2} \cos^{n-2} x\cdot\cos nx \;dx =0, $$ а это второй интеграл, с точностью до обозначения параметра...

ссылка

отвечен 20 Июл '19 3:12

изменен 20 Июл '19 3:12

А нельзя ли, используя полученный Вами результат $% \int\limits_{0}^{\pi/2} \cos^{n-2} x\cdot\cos nx \;dx =0$%, доказать, что $%\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n(x)\cdot \cos(nx)dx=\frac{\pi}{2^{n+1}}$% (методом математической индукции)?

(20 Июл '19 12:04) Anatoliy

@Anatoliy, так первый интеграл в этом решении полностью сокращается... поэтому, что-то я не вижу как тут индукцию проводить...

(20 Июл '19 14:57) all_exist

А если попробовать так: $%\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{n+1}(x)\cdot \cos((n+1)x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{n+1}(x)\cdot( (cos(n(x))\cdot \cos(x)-sin(n(x))\cdot \sin(x))dx=...$%

(20 Июл '19 22:17) Anatoliy

$$I_{n+1}=\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{n+1}(x)\cdot \cos((n+1)x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{n+1}(x)\cdot((cos(n(x))\cdot \cos(x)-sin(n(x))\cdot \sin(x))dx=$$$$=\frac{1}{2}\cdot I_n+\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{n}(x)\cdot \cos((n+2)xdx.$$

(23 Июл '19 21:10) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×242
×26

задан
19 Июл '19 10:34

показан
471 раз

обновлен
23 Июл '19 21:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru