$$\sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{2\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9}$$

задан 20 Июл 15:48

5

Например так:

Корнями уравнения $$-4t^3+3t=\sin\frac{π}3$$ являются числа $%\sin\frac{π}9,\sin\frac{2π}9,\sin\frac{4π}9$% (формула тройного угла). Осталось воспользоваться теоремой Вьетта.

(20 Июл 17:02) EdwardTurJ

@EdwardTurJ Спасибо!

(20 Июл 18:35) panda201
5

Пропустил "минус". Должно быть $$\text{являются числа }\sin\frac{π}9,\sin\frac{2π}9,-\sin\frac{4π}9.$$

(20 Июл 20:44) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
5

$$ \sin3x =4\sin \big(\frac{ \pi }{3}-x\big)\times \sin{x}\times \sin \big(\frac{ \pi }{3}+x \big) $$

$$ x = \frac{ 2\pi }{9}$$

ссылка

отвечен 21 Июл 3:35

изменен 21 Июл 19:48

3

$%x=2\pi/9$%

(21 Июл 7:37) spades
1

@FEBUS Спасибо!

(21 Июл 9:26) panda201

spades. Спасибо. Исправил.

(21 Июл 19:50) FEBUS
10|600 символов нужно символов осталось
6

Я докажу более общую формулу, используя комплексные числа. Имеет место следующее разложение на множители: $$1+z+z^2+...+z^{n-1}=\left(z-e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)\left(z-e^{\frac{4\pi i}{n}}\right)...\left(z-e^{\frac{2(n-1)\pi i}{n}}\right)$$ (чтобы его увидеть, достаточно разложить на множители $%z^n-1$% и отбросить скобку $%(z-1)$%).

Теперь подставим сюда $%z=1$%. Преобразуем первую скобку:$$1-e^\frac{2\pi i}{n}=e^\frac{\pi i}{n}\left(e^{-\frac{\pi i}{n}}-e^\frac{\pi i}{n}\right)=-2i\cdot e^\frac{\pi i}{n}\cdot\sin\frac{\pi}{n}.$$ По такому же принципу преобразуем все остальные скобки. В итоге получим равенство $$n=(-2i)^{n-1}\cdot e^{\frac{\pi i}{n}+\frac{2\pi i}{n}+...+\frac{(n-1)\pi i}{n}}\cdot\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{2\pi}{n}\cdot...\cdot\sin\frac{(n-1)\pi}{n}.$$ В показателе экспоненты будет $%\dfrac{\pi i(n-1)}{2}$%, а сама экспонента будет равна $%i^{n-1}$%. Как итог получим $$\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{2\pi}{n}\cdot...\cdot\sin\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$$ Подставляя сюда $%n=9$% и проводя нехитрые манипуляции, получим значение требуемого произведения. Ответ: $%\dfrac{\sqrt3}{8}$%.

ссылка

отвечен 5 Авг 16:59

1

$%n=9$% уникально тем, что "проводя нехитрые манипуляции" из 8 сомножителей остаётся только 3.

(5 Авг 17:11) EdwardTurJ

"Если рядом воробей — мы готовим пушку!"

(5 Авг 17:27) FEBUS
1

@FEBUS, три способа решения лучше, чем два.

(5 Авг 18:15) caterpillar

@caterpillar Спасибо!

(6 Авг 22:55) panda201
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×884

задан
20 Июл 15:48

показан
205 раз

обновлен
6 Авг 22:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru