Каким методом можно с требуемой точностью вычислить несобственный сходящийся интеграл от быстроосциллирующей функции?

задан 15 Фев '12 11:14

изменен 15 Фев '12 11:46

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
0

Видимо, требуется уточнить, что понимается под быстро осциллирующей функцией. Если имеется в виду интеграл вида $$\int_a^bf(x)g(x)dx,$$ где пределы интегрирования могут быть бесконечными, причём множитель f(x) меняется относительно медленно, а множитель g(x) осциллирует относительно быстро, то производная f'(x) может быть в некотором смысле мала, а первообразная G(x) второго множителя может быть ограничена. Тогда имеет смысл проинтегрировать по частям: $$\int_a^bf(x)g(x)dx=\int_a^bf(x)dG(x)= [f(x)G(x)]_a^b-\int_a^bf'(x)G(x)dx,$$ и выражение под знаком получающегося интеграла может допускать более простую оценку, чем выражение под знаком исходного интеграла.

Например, в интеграле типа $$\int_a^{+ \infty}\frac{sinkx}{\sqrt{x}}dx$$ при $$k \to +\infty$$ можно положить $$f(x)=\frac{1}{\sqrt x}$$ и $$g(x)=sinkx.$$

ссылка

отвечен 10 Янв '13 16:04

изменен 10 Янв '13 16:09

@Андрей Юрьевич, ... метод Боголюбова-Крылова-Митропольского, ...

Вопрос касался не решения уравнений (или систем уравнений), описывающих колебания систем с быстрыми и медленными переменными и т.п., а вычисления интеграла. Является ли подход, связанный с применением этого метода, более "стандартным" в такой задаче? даёт ли этот метод при вычислении одного интеграла что-то сверх того, что описано выше?

(10 Янв '13 17:24) splen

splen, спасибо за участие в обсуждении. Точный вид интеграла не принципиален, однако наибольшую сложность вызывает нефакторизуемая подынтегральная функция. Ясно, что метод должен быть, вообще говоря, численным, но какой предпочтительнее и каков критерий выбора метода для конкретного интеграла?

(10 Янв '13 17:44) wusan

@wusan,

пользуясь известными асимптотиками цилиндрических функций на бесконечности, нужный интеграл, похоже, сводится именно к тому типу интеграла, который был приведен в качестве примера. Модифицированные цилиндрические функции, обычно, не считаются быстро осциллирующими. Если нужно, можно было бы дать более конкретный ответ, но для этого желательно видеть сам интеграл.

Любую функцию можно домножить и разделить на нужный ненулевой множитель. В этом смысле "невакторизуемых" функций не существует.

(10 Янв '13 17:47) splen

"нефакторизуемых"

(10 Янв '13 17:48) splen

Конкретный пример интеграла с комбинацией бесселевых с модифицированными функциями в книге "Теплопроводность твердых тел" Carslaw, Yaeger http://gen.lib.rus.ec/search?req=%D0%A2%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C+%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%B4%D1%8B%D1%85+%D1%82%D0%B5%D0%BB&nametype=orig&column%5B%5D=title&column%5B%5D=author&column%5B%5D=series&column%5B%5D=periodical&column%5B%5D=publisher&column%5B%5D=year стр. 371

(10 Янв '13 17:56) wusan

Собственно говоря, я спрашивал не просто о примере. Мне казалось, имело бы смысл говорить о конкретном интересующем интеграле, но если достаточно любого примера, то я могу по своему усмотрению выбрать и разобрать здесь какой-нибудь такой интеграл. Устроит?

(10 Янв '13 18:03) splen
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Есть стандартный метод Боголюбова-Крылова-Митропольского, http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/2565/%D0%9A%D0%A0%D0%AB%D0%9B%D0%9E%D0%92%D0%90 , для решения таких задач. (почему-то перестали нормально вставляться ссылки).

Дополнение. Согласен с @splen, я не совсем внимательно прочитал условие, метод БКМ немножко не в тему, хотя его можно использовать, если интеграл преобразуется в дифф.ур. Но для интеграла есть другой стандартный асимптотический метод - метод стационарной фазы http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%B7%D1%8B . Впрочем, тот способ, который предлагаете Вы, @splen, - прямое разложение по обратной величине большого параметра, - тоже входит в набор стандартных асимптотических методов. А вообще, целесообразность применения того или иного метода решения зависит от вида интеграла. Так, может быть, @wusan, Вы приведете сам интеграл?

ссылка

отвечен 10 Янв '13 16:50

изменен 12 Янв '13 2:30

При попытке применить к указанному в примере интегралу метода стационарной фазы придётся решать уравнение $$\frac{d}{dk}(k)=0,$$ не имеющее корней. Метод многократного интегрирования быстро осциллирующей части действительно является одним из наиболее простых стандартных методов построения асимптотических разложений в таких случаях, но вряд ли можно называть его методом прямого разложения.

(13 Янв '13 22:18) splen

@splen, Вы имеете в виду Ваш пример? В вопросе никакого конкретного интеграла не указано, поэтому я и попросил автора привести сам интеграл. К разным интегралам применимы разные методы, для конкретного интеграла можно подобрать наиболее эффективный. Ваш метод я назвал методом прямого разложения, потому что он дает ряд по степеням $%1/k$%. У таких разложений часто возникают проблемы с равномерностью, в частности, в Вашем примере трудности могут возникнуть при попытке уменьшенить $%a$%.

(13 Янв '13 23:07) Андрей Юрьевич

@splen, Вы имеете в виду Ваш пример?

Да. Я тоже интересовался интегралом, о котором был задан вопрос, но в указанном источнике на указанной странице есть разные интегралы, причём они не содержат всех тех особенностей, о которых упоминалось ранее.

Я не возражаю против того, что многократным интегрированием по частям в данном случае можно получить разложение. Я бы лишь не называл его прямым.

Кстати, мы до сих пор не знаем, к какому интегралу нужно подбирать подходящий метод (и есть ли там аналогичный параметр). Возможно, нужно дождаться ответа.

(13 Янв '13 23:23) splen
10|600 символов нужно символов осталось
0

Спасибо за ссылку, однако в этой задаче речь идет об интеграле-свертке функции Грина параболического уравнения, представляющей собой симметризованное произведение бесселевых функций (или модифицированных) соседних порядков, и граничного условия в виде функции времени. В знаменателе подинтегральной функции находится сумма квадратов бесселевых функций. Такого типа решения широко представлены в справочнике Полянина по линейным уравнениям математической физике и в книге "Теплопроводность твердых тел" Carslaw, Yaeger.

ссылка

отвечен 10 Янв '13 17:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×923
×66

задан
15 Фев '12 11:14

показан
1765 раз

обновлен
13 Янв '13 23:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru