теория-вероятностей - Задача на тему "совместное распределение двух случайных величин"

Здесь рассматривается векторная случайная величина $%(X,Y)$%, равномерно распределённая в прямоугольнике $%[0,1]\times[0,\pi]$%. Вероятности событий вычисляются геометрически, через отношение площадей.

Начать можно с нахождения функции распределения величины $%Z$%. Пусть $%k$% -- действительное число; тогда $%F(k)=P\{Y/X < k\}$%. Понятно, что при $%k\le0$% значение функции распределения равно нулю. Пусть $%k > 0$%. Здесь надо рассмотреть случаи $%k\le\pi$% и $%k > \pi$%. Рисуем прямоугольник на координатной плоскости, и проводим прямую $%y=kx$%. Нас интересует часть площади прямоугольника, которая находится ниже этой прямой (где $%y/x < k$%). Понятно, что в первом случае это прямоугольный треугольник со катетами $%1$% и $%k$%. Делим его площадь на площадь всего прямоугольника, получая $%F(k)=k/(2\pi)$%. Во втором случае, выше проведённой прямой расположен прямоугольный треугольник с катетами $%\pi$% и $%\pi/k$%. Этому соответствует вероятность $%\pi/(2k)$%, и её надо вычесть из единицы, так как нас интересует дополнение. Это значит, что $%F(k)=1-\pi/(2k)$% для второго случая.

График функции $%F(x)$% будет состоять из трёх линий: луча $%y=0$% при $%x\le0$%, отрезка $%y=x/(2\pi)$% при $%0\le x\le\pi$%, и части гиперболы $%y=1-\pi/(2x)$% при $%x\ge\pi$%. Функция получается непрерывная, при этом $%F(0)=0$%, $%F(\pi)=1/2$%.

Для нахождения плотности находим производную (в тех точках, где функция распределения дифференцируема). Получается $%p(x)=0$% при $%x\le0$%; $%p(x)=1/(2\pi)$% при $%0 < x < \pi$%; $%p(x)=\pi/(2x^2)$% при $%x\ge\pi$%. В точке $%x=\pi$% плотность оказывается непрерывной. График плотности легко строится.