Случайные величины $%X$% и $%Y$% имеют совместную плотность распределения $%f_{XY}(x,y)=1/\pi, $% $% x\in[0,1], y\in [0;\pi]$%.
Найдите плотность распределения случайной величины $%Z=Y/X$%.

задан 28 Май '13 22:43

изменен 29 Май '13 0:48

falcao's gravatar image


191k1632

@San4ezzz94, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(29 Май '13 0:16) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Обычно такие задачи удобнее решать не через плотность, а через функцию распределения. Как связаны между собой эти понятия?

ссылка

отвечен 29 Май '13 0:17

Функция распределения есть интеграл от плотности распределения, насколько я понимаю, пределы интегрирования как раз заданы, но есть сомнения,так как не сильно разбираюсь в этой теме.

(29 Май '13 0:26) San4ezzz94
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь рассматривается векторная случайная величина $%(X,Y)$%, равномерно распределённая в прямоугольнике $%[0,1]\times[0,\pi]$%. Вероятности событий вычисляются геометрически, через отношение площадей.

Начать можно с нахождения функции распределения величины $%Z$%. Пусть $%k$% -- действительное число; тогда $%F(k)=P\{Y/X < k\}$%. Понятно, что при $%k\le0$% значение функции распределения равно нулю. Пусть $%k > 0$%. Здесь надо рассмотреть случаи $%k\le\pi$% и $%k > \pi$%. Рисуем прямоугольник на координатной плоскости, и проводим прямую $%y=kx$%. Нас интересует часть площади прямоугольника, которая находится ниже этой прямой (где $%y/x < k$%). Понятно, что в первом случае это прямоугольный треугольник со катетами $%1$% и $%k$%. Делим его площадь на площадь всего прямоугольника, получая $%F(k)=k/(2\pi)$%. Во втором случае, выше проведённой прямой расположен прямоугольный треугольник с катетами $%\pi$% и $%\pi/k$%. Этому соответствует вероятность $%\pi/(2k)$%, и её надо вычесть из единицы, так как нас интересует дополнение. Это значит, что $%F(k)=1-\pi/(2k)$% для второго случая.

График функции $%F(x)$% будет состоять из трёх линий: луча $%y=0$% при $%x\le0$%, отрезка $%y=x/(2\pi)$% при $%0\le x\le\pi$%, и части гиперболы $%y=1-\pi/(2x)$% при $%x\ge\pi$%. Функция получается непрерывная, при этом $%F(0)=0$%, $%F(\pi)=1/2$%.

Для нахождения плотности находим производную (в тех точках, где функция распределения дифференцируема). Получается $%p(x)=0$% при $%x\le0$%; $%p(x)=1/(2\pi)$% при $%0 < x < \pi$%; $%p(x)=\pi/(2x^2)$% при $%x\ge\pi$%. В точке $%x=\pi$% плотность оказывается непрерывной. График плотности легко строится.

ссылка

отвечен 29 Май '13 2:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,811

задан
28 Май '13 22:43

показан
1010 раз

обновлен
29 Май '13 2:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru