теория-вероятностей - Задача на тему "функции случайных величин"

Длина одной из диагоналей (исходящей из вершины острого угла) равна $%2a\,\cos\frac{\varphi}2$%, а другой -- $%2a\,\sin\frac{\varphi}2$%. Здесь несколько смущает наличие углов, у которых значения тригонометрических функций "хорошие", в то время как у половинных углов они уже не столь удобно вычисляются, но что есть, то есть.

Пусть $%\xi$% -- длина первой из диагоналей. Она принимает значения от $%t_1=2a\,\cos\frac{\pi}8$% до $%t_2=2a\,\cos\frac{\pi}{12}$%. Пусть $%F(t)=F_{\xi}(t)$% -- функция распределения. При $%t\le t_1$% имеем $%F(t)=0$%, при $%t\ge t_2$% справедливо равенство $%F(t)=1$%. Пусть $%t_1 < t < t_2$%. Событие $%\xi < t$%, то есть $%2a\,\cos\frac{\varphi}2 < t$%, означает, что $%\varphi > 2\arccos\frac{t}{2a}$%. Вероятность того, что это имеет место, составляет отношение длин соответствующих дуг, откуда $$F(t)=\frac{\pi/4-2\arccos\,\frac{t}{2a}}{\pi/4-\pi/6}=3-\frac{24}{\pi}\arccos\frac{t}{2a}.$$ В результате дифференцирования находим плотность распределения: $$p(t)=p_{\xi}(t)=\frac{24}{\pi\sqrt{4a^2-t^2}}.$$ Эта формула справедлива при $%t\in(t_1,t_2)$%; вне данного интервала плотность равна нулю.

Для плотности распределения длины второй из диагоналей вычисления аналогичны.