Найти наибольшее натуральное значение числа n<=100 при котором многочлен Q(x)=x^n+x^125+x^225+x^325+x^425+x^525+x^625 делится нацело на многочлен P(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6

Помогите, пожалуйста, разобраться с данной задачей, а то не получается совсем её решить, буду признателен за помощь.

задан 28 Июл '19 10:42

2

Если $%t$% - корень многочлена $%P$%, то $%t^7=1$% и $%Q(t)=0$%. Поэтому $$t^n+t^{125}+t^{225}+t^{325}+t^{425}+t^{525}+t^{625}=t^n+t^6+t^1+t^3+t^5+1+t^2=$$ $$=t^n-t^4=0⇒n=95.$$

(28 Июл '19 11:01) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, спасибо Вам, большое, если Вам нетрудно, можно ещё на словах объяснить, что откуда тут взялось, то есть сам алгоритм произведенных Вами действий, это бы мне очень помогло.

(28 Июл '19 11:06) Ivan120
1

@Ivan120: многочлен t^7-1=(t-1)(t^6+t^5+...+1) делится на то, что в скобках. Поэтому t^k можно заменять на t^r, где r -- остаток от деления k на 7. Свойство делимости на P(t) при этом сохраняется. После t^n получается написанная сумма, которая равна P(t)-t^4, то есть делиться на P(t) должно t^n-t^4. При этом n даёт остаток 4 при делении на 7. Наибольшее n<=100 с таким свойством равно 95.

(28 Июл '19 11:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,470
×469
×7

задан
28 Июл '19 10:42

показан
757 раз

обновлен
28 Июл '19 11:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru