1
1

Найти все функции $%f:R_{+} → R_{+}$% , удовлетворяющие равенству: $$f(xy + (f(y))^2) = f(x)f(y) + yf(y)$$ при любых $%x,y \in R_{+}$%

($%R_{+}$% -множество всех действительных положительных чисел)

задан 28 Июл '19 12:32

Надо подставить $%x = \frac{y - f^2(y)}{y}$% , тогда можно будет разложить на множители: $$f(y)(1-f(x)-y) = 0$$

(12 Окт '19 16:09) lawyer

@lawyer, даже с разложением на множители совершенно не понятно что делать дальше

(12 Окт '19 16:42) spades

@spades $%f(1-\frac{f^2(y)}{y}) = 1-y $% , откуда $%y<1$% - по множеству значений и $%f(y) < \sqrt{y}$% - по области определения ,тогда $%0 < f(y) <\sqrt{y} < 1 $% т.е. - функция ограничена.Не противоречие ли получается ?

(12 Окт '19 17:40) lawyer

@lawyer: противоречия тут нет. Подставляя x=1-f(y)^2/y, мы можем это делать только при f(y) < sqrt(y).

По идее, тождественная функция здесь подходит.

(12 Окт '19 17:55) falcao

@lawyer, ну допустим при y<1 мы можем что то сказать. Что при y>1?

(12 Окт '19 22:25) spades

@spades Понял,ошибся

(12 Окт '19 22:34) lawyer

Интересно ,можно ли как-то доказать что f(1) = 1. Тогда,подставив y = 1 ,получится f(x+1) = f(x) +1 , и f(x) = x

(12 Окт '19 22:57) lawyer

@lawyer: даже если f(x+1)=f(x)+1, то совершенно не обязательно f(x)=x. Здесь подошла бы любая функция вида f(x)=x+c, но даже такими функциями всё не исчерпывается.

(12 Окт '19 23:28) falcao

А как из f(x+1) = f(x) + 1 получилось f(x) = x+c ?

(13 Окт '19 8:03) jao

@jao: никак не получилось. Я отметил только то, что такая функция тоже удовлетворяет условию f(x+1)=f(x)+1, а не только f(x)=x.

(13 Окт '19 13:22) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×104

задан
28 Июл '19 12:32

показан
353 раза

обновлен
13 Окт '19 13:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru