Рассмотрим числа вида $%5^n+3^{n+1}, \quad n\in\mathbb{N_0}:\quad 4, 14, 52, 206, 868,\dots$%

Докажите, что единственная точная степень в этой последовательности — это число 4.

задан 30 Июл 23:19

3

По модулю 8 имеем: 4,6,4,6,..., следовательно $%n$% чётное. Далее стандартно: $$5^{2k}+3^{2k+1}=x^2,(x+5^k)(x-5^k)=3^{2k+1},x+5^k=3^a,x-5^k=3^b⇒$$ $$⇒5^k=3^b\cdot\frac{3^{a-b}-1}{2}⇒b=0⇒2\cdot5^k=3^a-1.$$ Последнее уравнение по модулю 4 даёт $%a=2m$%: $$2\cdot5^k=(3^m-1)(3^m+1)$$ Левая часть не делится на 4, правая не делится на 4 только при $%m=0⇒k=0⇒n=0.$%

(31 Июл 0:46) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, большое спасибо!

(31 Июл 2:49) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,134
×208
×112
×20
×13

задан
30 Июл 23:19

показан
119 раз

обновлен
2 Авг 11:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru