Найдите все пары натуральных чисел $%(m, n)$%, такие, что число $%3^m+6^n$% есть квадрат целого числа.

задан 2 Авг 15:56

@Казвертеночка

Пусть $%m\geq n$%:

$%3^m + 6^n = 3^n(3^{m-n} + 2^n) = k^2$% , для некоторого целого $%k$%

Поскольку числа $%3^n$% и $%3^{m-n} + 2^n$% взаимно просты,каждое из них будет точным квадратом:

$%3^n = x^2$% и $%3^{m-n} + 2^n = y^2$%

Отсюда: $%n = 2l$% , $%x = 3^l$%

Значит:

$%(y+2^l)(y-2^l) = 3^{m-2l}$%

Каждый из сомножителей - степень тройки:первый =$%3^a$%, второй = $%3^{m-2l-a}$%

Итого получится:

$$2^{l+1} = 3^a - 3^{m-2l-a}$$

Откуда:$%m=1 , n=1$% и $%m = 1 , n=0$%

(2 Авг 16:48) potter

Ноль не натуральное число.

(2 Авг 22:34) FEBUS
1

@potter: Вы не решили последнее уравнение $%2^{l+1}=3^a-3^{m-2l-a}$% и не рассмотрели случай $%m\le n$% ($%m$% и $%n$% не симметричны)

(2 Авг 23:58) EdwardTurJ

@EdwardTurJ Да,понял ,спасибо .

(3 Авг 1:14) potter
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть m нечётно. Тогда 3^m даёт в остатке 3 при делении на 4. Это значит, что 6^n не делится на 4, так как числа вида 4q+3 не являются квадратами. Значит, n=1. Отсюда следует, что m=1, так как в противном случае сумма степеней делится на 3, но не на 9. Случай m=n=1 даёт решение.

Далее считаем m=2s чётным. Получается 6^n=k^2-(3^s)^2=(k-3^s)(k+3^s). Произведение двух чисел равно степени 6, а разность большего и меньшего составляет 2*3^s. Покажем, что такое возможно в двух случаях: для чисел 18 и 12, когда n=3, m=2 (получается 15 в квадрате), или для чисел 72 и 18, когда n=4, m=6 (здесь будет 45 в квадрате).

Ввиду n>=1, хотя бы один сомножитель чётен. Их разность чётна, поэтому они оба чётны, и n>=2. Но разность не делится на 4, поэтому один сомножитель делится на 4, а другой не делится. Значит, n>=2, а сомножители имеют вид 23^u и 2^{n-1}3^v, где u+v=n.

Пусть v>=u. Тогда разность чисел равна 23^u(2^{n-2}3^{v-u}-1). В скобках стоит степень тройки, что возможно только при v=u. Степень двойки на 1 больше степени тройки; это хорошо известное уравнение, и такое явление имеет место только для чисел 2 и 1 или 4 и 3. Первый случай невозможен при u=v, так как здесь 2^{n-2} не равно 2 (напомним, что n=u+v). Второй случай даёт n=4, u=v=2, что было описано выше.

Теперь пусть v < u. Выносим общий множитель 23^v. Разность составит 3^{u-v}-2^{n-2}, и это степень тройки со знаком + или -. Ввиду u-v > 0, такое возможно только если разность равна 1. Это ещё одно известное уравнение, и здесь получается или 3-2, или 9-8. Первый случай даёт u-v=1, n=3, откуда u=2, v=1, и это также было описано выше. Второй случай невозможен, так как он даёт u-v=2, n=5, что несовместимо с условием n=u+v.

Итого имеем три решения в натуральных числах.

ссылка

отвечен 6 Авг 14:48

@falcao, по-настоящему большое спасибо!

(6 Авг 16:21) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
0

У меня получилось

$% (m; n) = (1; 1); (2; 3); (6; 4).$%

ссылка

отвечен 2 Авг 22:40

изменен 2 Авг 22:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,165
×42
×16
×3
×1

задан
2 Авг 15:56

показан
140 раз

обновлен
6 Авг 16:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru