Известно что три комплексных числа лежат на одной окружности. Нужно найти её центр.
Записывать систему из трех уравнений окружности в комплексных числаз как-то не приносит радости( Может, есть нормальное решение? Благодарю всех, кто примет участие!

задан 3 Авг 13:36

1

Если А, B, C -- три точки на плоскости, то проведите два отрезка, например, AB и BC (чтобы не рассматривать особые случаи, надо выбрать отрезки так, чтобы ни один из них не оказался вертикальным). Через середины этих отрезков проведите перпендикуляры. Точка их пересечения и будет центром. Т.е. искать можно, используя свойства и уравнения прямых. Формулы в общем виде будут громоздкими, и от этого никуда не деться. Если даны конкретные координаты, то все действия выглядят более приятно.

(3 Авг 13:45) caterpillar
1

Можно ещё рассмотреть систему уравнений вида |z-z1|=|z-z2|=|z-z3|. Потом записать равенство квадратов модулей с сопряжёнными числами. В итоге z*bar(z) сократятся, получатся линейные уравнения от z, bar(z).

Правда, я не уверен, что это принципиально лучше -- надо пробовать на конкретных числах и сравнивать.

Было ещё что-то похожее с формулой в виде определителя. Вроде бы, там @all_exists отвечал. Но ссылку я не нашёл.

(3 Авг 16:28) falcao

@falcao, хорошо, спасибо. У меня задача стоит в общем виде, к сожалению

(3 Авг 22:23) Ghosttown
10|600 символов нужно символов осталось
3

Замечание @falcao об определителе натолкнуло меня на мысль рассуждать так. Легко непосредственно проверить, что уравнение $%A|z|^2+\overline Bz+B\overline z +C=0$% -- есть уравнение окружности при условиях, что $%A\ne0$%, $%A,C\in\mathbb R$%, $%AC<|B|^2$%. Теперь, у нас есть три точки $%z_1,z_2,z_3$%, лежащие на окружности, значит, $%A|z_i|^2+\overline Bz_i+B\overline z_i +C=0$%, $%i=1,2,3$%. Вместе с исходным уравнением относительно $%z$% получилась система $%4\times4$% относительно $%A-C$%. Поскольку её решение нетривиально, то необходимо $%\begin{vmatrix} |z|^2& z&\overline z&1\\ |z_1|^2& z_1&\overline z_1&1\\ |z_2|^2& z_2&\overline z_2&1\\ |z_3|^2& z_3&\overline z_3&1 \end{vmatrix}=0$%. Это и есть уравнение окружности.

Также можно принять это равенство за основу (типа упало с потолка) и просто выполнить его проверку.

ссылка

отвечен 4 Авг 8:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Был вопрос об уравнении окружности: math.hashcode.ru/questions/147823/

но здесь требуется найти центр окружности. В данном случае из равенства $$\left( \matrix{1&z_1&\bar{z_1}\\1&z_2&\bar{z_2}\\1&z_3&\bar{z_3}} \right)\left( \matrix{R^2-|z_0|^2\\\bar{z}_0\\z_0} \right)=\left( \matrix{|z_1|^2\\|z_2|^2\\|z_3|^2} \right)$$ следует, что $$z_0 = \left| \matrix{1&z_1&\bar{z_1}\\1&z_2&\bar{z_2}\\1&z_3&\bar{z_3}} \right|^{-1} \left| \matrix{1&z_1&|z_1|^2\\1&z_2&|z_2|^2\\1&z_3&|z_3|^2} \right|.$$

ссылка

отвечен 7 Авг 23:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×435
×239

задан
3 Авг 13:36

показан
83 раза

обновлен
7 Авг 23:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru