Пусть $$a_{n+1} = \frac{a_{n} +b_{n}}{2}$$ , $$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}+b_{n}}{2}$$ Как выразить $%a_{n}$% и $%b_{n}$% через $%a_{1} , b_{1} , n$%?

задан 6 Авг 23:04

10|600 символов нужно символов осталось
3

Можно заметить, что $$\frac{a_{n+1} + 2 b_{n+1}}{3} = \frac{1}{3} \left( \frac{a_n+b_n}{2} + \frac{a_n+b_n}{2} + b_n \right) = \frac{a_n + 2 b_n}{3}.$$ Обозначим $$c_n \equiv \frac{a_n + 2 b_n}{3}.$$ Тогда $$c_{n+1} = c_n = ... = c_1 = \frac{a_1 + 2 b_1}{3} \equiv c.$$

Кроме того, $$b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{b_n - a_{n+1}}{2} = \frac{b_n - \frac{a_n + b_n}{2}}{2} = \frac{b_n - a_n}{4}.$$ Значит, $$b_n - a_n = \frac{3k}{4^n},$$ где $$k = \frac{4}{3}(b_1 - a_1).$$ Тогда из системы $$\cases{a_n + 2 b_n = 3c,\\b_n - a_n = \frac{3k}{4^n}}$$ следует, что $$a_n = c - \frac{2k}{4^n}, \; b_n = c + \frac{k}{4^n}.$$

ссылка

отвечен 7 Авг 2:27

изменен 7 Авг 2:30

@splen Спасибо!

(7 Авг 15:14) panda201

Пожалуйста.

(7 Авг 22:18) splen
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×298

задан
6 Авг 23:04

показан
60 раз

обновлен
7 Авг 22:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru