Помогите найти сумму $%arcctg(2u_1^2)+arcctg(2u_2^2)+arcctg(2u_3^2)+\ldots$%

где $%u_n=4u_{n-1}-u_{n-2}$%, $%u_1=u_2=1$%.

задан 7 Авг 16:27

А Вы не пробовали решить рекуррентное соотношение, чтобы найти явный вид $%u_n$%? Вообще, интересно происхождение этой задачи. Из какого курса? Какие задачи находятся в ближайшей окрестности этой?

(7 Авг 19:16) caterpillar

$$\arctan\frac12+\frac{π}6.$$

(7 Авг 20:33) EdwardTurJ

@caterpillar $%u_n$% явно легко выписывается, а что это дает?

(7 Авг 22:21) FEBUS

@FEBUS: $$S_n=arccot2+arccot\left(\sqrt3⋅\frac{(2+\sqrt3)^{n-1}+(2-\sqrt3)^{n-1}}{(2+\sqrt3)^{n-1}-(2-\sqrt3)^{n-1}}\right).$$

(7 Авг 22:48) EdwardTurJ

@EdwardTurJ Вот это мне не понятно. Откуда?

(7 Авг 23:23) FEBUS

@caterpillar, $%u_n$% я нашел, только легче не стало. Как найти сумму ряда с арккотангенсом?

(7 Авг 23:25) kvark

@FEBUS: Как догадался? По формуле суммы двух арккотангенсов вычислял $%\sum_2^narccot(2u_n^2):\frac74,\frac{26}{15},\frac{97}{56},...$% Числители и знаменатели - это $%a$% и $%b$% из $%(2+\sqrt3)^{n-1}=a+b\sqrt3$%. Остаётся индукцией проверить. На бумаге получилось длинновато...

(8 Авг 0:34) EdwardTurJ

Я так и думал. Скучно ...

(8 Авг 0:40) FEBUS
3

Можно воспользоваться соотношением $%u_n^2=u_{n-1}u_{n+1}-2$% (аналогия с числами Фибоначчи). Тогда $$2u_n^2=\frac{u_n(4u_n)}2=\frac{u_n(u_{n-1}+u_{n+1})}{u_{n-1}u_{n+1}-u_n^2},$$ $$arccot\left(\frac{u_n(u_{n-1}+u_{n+1})}{u_{n-1}u_{n+1}-u_n^2}\right)=arccot\frac{u_n}{u_{n-1}}-arccot\frac{u_{n+1}}{u_n}.$$ Получаем "телескоп".

(8 Авг 1:20) EdwardTurJ
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×101

задан
7 Авг 16:27

показан
154 раза

обновлен
8 Авг 2:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru