Как доказать, что не существует выпуклой ограниченной функции определенной на всей прямой и отличной от константы?

задан 29 Май '13 23:32

10|600 символов нужно символов осталось
0

Предположим, что функция $%f$% ограничена снизу константой $%M$%. Если она сама не является константой, существуют такие $%x_1 < x_2$%, для которых $%f(x_1)\ne f(x_2)$%. Без ограничения общности можно считать, что $%f(x_1) > f(x_2)$% -- в противном случае можно перейти к функции $%f(-x)$% с сохранением всех условий задачи. Проведём прямую через точки с координатами $%(x_1,f(x_1))$% и $%(x_2,f(x_2))$%. Её угловой коэффициент $%k$% меньше нуля, и она пересекает прямую $%y=M$% в некоторой точке с абсциссой $%x_0 > x_2$%. Рассмотрим произвольное $%x > x_0$% и рассмотрим точку $%(x,f(x))$% графика функции. Ввиду $%f(x)\ge M$%, из геометрических соображений очевидно, что точка $%(x_2,f(x_2))$% лежит строго ниже прямой, соединяющей точки $%(x_1,f(x_1))$% и $%(x,f(x))$%. Это противоречит условию выпуклости функции $%f$%.

ссылка

отвечен 30 Май '13 0:47

а почему это противоречит условию выпуклости функции?

(30 Май '13 10:50) Василь

Здесь имеется в виду определение выпуклой (вверх) функции: если взять любую хорду графика, то соответствующая часть графика между взятыми точками должна лежать не ниже этой хорды. Можно представть себе это на рисунке. Такое определение выпуклости является наиболее общим. В виде формул это выглядит как неравенство $%f(c_1x_1+c_2x_2)\ge c_1f(x_1)+c_2f(x_2)$% для любых $%c_1,c_2\ge0$% таких что $%c_1+c_2=1$%.

(30 Май '13 12:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×116
×65
×33
×20

задан
29 Май '13 23:32

показан
781 раз

обновлен
30 Май '13 12:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru