Медианы прямоугольного треугольника пересекаются на его вписанной окружности. Найдите углы треугольника. Много лет назад задача предлагалась на приёмном экзамене на физфак МГУ.

задан 11 Авг 10:45

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть ABC -- треугольник с прямым углом C. Положим a=BC=sin(x), b=AC=cos(x), c=AB=1. Радиус вписанной окружности равен r=ab/(a+b+c). Середина гипотенузы имеет координаты (a/2,b/2) в соответствующей системе. Поэтому точка пересечения медиан имеет координаты (a/3,b/3). Она должна лежать на вписанной окружности, то есть быть удалённой на расстояние r от точки (r,r).

Имеем уравнение (r-a/3)^2+(r-b/3)^2=r^2. Упрощаем его до r^2+1/9=2r(a+b)/3. Введём переменную a+b=z. Тогда z^2=1+2ab, откуда ab=(z^2-1)/2 и r=(z^2-1)/(2(z+1))=(z-1)/2. Подставляя, имеем z^2+2z=13/3, то есть z=4/sqrt(3)-1 с учётом положительности корня.

Далее имеем sin(2x)=z^2-1=10/3-2z=8(2-sqrt(3))/3, и выражаем угол x через арксинус. В градусах величина этого угла составляет примерно 22,8.

ссылка

отвечен 11 Авг 15:26

Ни убавить,ни прибавить.

(11 Авг 16:26) golodny
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я делал так

$% \begin{cases}a+b=2r+1 &\\ab=2r(r+1) \end{cases} $%

Стало быть, $% a $% и $% b $% суть корни уравнения

$% t^2-(2r+1)t+2r(r+1)=0 $%, где $% r^2+2r= \frac{1}{3} $%.

ссылка

отвечен 12 Авг 14:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×669

задан
11 Авг 10:45

показан
95 раз

обновлен
12 Авг 14:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru