$$2^{\sin^2{x}}=\sin{x}$$ Как решать (и решить) это уравнение? Вещественных решений не предлагать, поскольку очевидно, что их нет.

задан 11 Авг 19:36

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть y=sin x -- комплексное число. Требуется решить уравнение 2^{y^2}=y. Полагая y=a+bi, имеем y^2=a^2-b^2+2abi, и левая часть равна 2^{a^2-b^2}e^{2ln(2)abi}. Она равна правой части a+bi. Отсюда следует равенство квадратов модулей: 4^{a^2-b^2}=a^2+b^2. Положим r^2=a^2+b^2, где r > 0. Тогда a^2-b^2=log_2(r), и теперь a^2=(r^2+log_2(r))/2, b^2=(r^2-log_2(r))/2 выражаются через r. Неотрицательность квадратов влечёт r>=sqrt(2)/2.

Теперь, рассматривая различные знаки чисел a, b, выражаем через r сами числа a, b. Например, если a,b положительны, то выражаем через r угол ф=2abln(2), далее рассматривая уравнения cos(ф)=a/r, sin(ф)=b/r. Аналитически они вряд ли решаются, но численно можно найти r=1.045330980. Далее выражаем a, b и получаем приближённое значение для y=0.7604855915+0.7172018710i. Зная y, стандартно решаем комплексное уравнение sin(x)=y.

Аналогично поступаем для случаев a > 0, b < 0 (там будет сопряжённое значение корня) и двух других. Если не ошибаюсь, при a < 0, b < 0 будет y=-2.890091754-2.531927959i.

То есть в принципе всё решается, то ответы не слишком интересны.

ссылка

отвечен 11 Авг 20:26

@falcao, большое спасибо!

(12 Авг 0:58) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,195
×6
×1
×1
×1

задан
11 Авг 19:36

показан
92 раза

обновлен
12 Авг 0:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru