Подскажите пожалуйста,можно ли с помощью каких - то неравенств,найти при каких положительных $%x$% и $%y$% достигается минимум выражения: $$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-b)^2+(y-c)^2} + \sqrt{(x-a)^2+y^2}$$ Здесь $%a,b,c$% - данные положительные числа

задан 13 Авг 18:19

1

У Вас фактически написана сумма расстояний до трёх фиксированных точек. Задача минимизации этой суммы называется задачей Ферма-Торричелли-Штейнера. Её решение -- это точка внутри треугольника, из которой все стороны видны под углами 120 градусов. При некоторых значениях параметров это также может быть одна из данных фиксированных точек. В-общем, погуглите эту задачу.

(13 Авг 18:31) caterpillar

@caterpillar Спасибо

(13 Авг 19:13) panda201

@caterpillar: здесь есть условие положительности x,y, но оно, как я понимаю, не сильно влияет. Координаты точки Торричелли здесь автоматически будут положительными, если точка внутри треугольника. Но, если угол при вершине (a,0) тупой, то могут быть "патологии".

@panda201: задача здесь решается геометрически, а хороших аналитических формул для x,y, скорее всего, нет. Про точку Торричелли можно прочитать в книжке Зетеля "Новая геометрия треугольника" и в других источниках.

(13 Авг 19:13) falcao
1

@falcao, вроде бы, если угол при вершине не больше 120 градусов, то точка лежит внутри треугольника. Если больше, то минимум даёт именно эта вершина. Так что никаких патологий. Хотя, я мог запамятовать.

(13 Авг 19:21) caterpillar

@caterpillar: да, всё правильно. Я помнил про случай угла 120 градусов, но не помнил точно, что будет, если он больше. Сейчас уточнил: там оптимальной точкой будет вершина наибольшего угла, хотя она не совпадает с собственно точкой Торричелли, находящейся вне треугольника. Так что "зазора" между постановками задач не будет.

(13 Авг 19:33) falcao
1

Минимальную сумму расстояний от внутренней точки треугольника до его вершин можно найти по формуле: $$(L_{1} + L_{2} +L_{3})_{min}=\sqrt{ \frac{1}{2} (a^2 + b^2 +c^2 +4\sqrt{3}S)}$$
$%a,b,c$% - стороны,$%S$%-площадь треугольника. Эта формула есть в учебнике Понарина,стр 115

(30 Авг 12:37) potter
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×47

задан
13 Авг 18:19

показан
90 раз

обновлен
30 Авг 12:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru