Сколько треугольных граней может иметь пятигранник?

Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

задан 14 Авг '19 16:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

По формуле Эйлера, В-Р+Г=2 (подразумевается, что речь о пятиграннике сферической формы). Из Г=5 следует Р-В=3, то есть рёбер на 3 больше, чем вершин. Периметр грани не меньше 3, а сумма периметров граней равна 2Р, откуда 2Р>=15. Равенство невозможно, поэтому все грани не могут быть треугольниками. Допустим, что треугольников 4. Такой вариант возможен для 4-угольной пирамиды. Два треугольника могут быть в случае треугольной призмы. Если одна из граней -- это n-угольник для n>=5, то помимо этой грани есть ещё как минимум 5, и этот вариант не подходит.

Таким образом, можно считать, что треугольников x, а 4-угольников 5-x. Сумма периметров граней равна 3x+4(5-x)=20-x, и она чётна, то есть число треугольников чётно. Случаи x=2, x=4 рассмотрены. Пусть x=0. Тогда все 5 граней -- четырёхугольники. Рёбер будет 10, а вершин 7. Такой вариант невозможен, так как степень каждой вершины не меньше 3, и сумма степеней оказывается больше 2Р.

Я писал без черновика, поэтому получилось несколько длиннее, чем надо.

ссылка

отвечен 14 Авг '19 16:56

@falcao, а что такое пятигранник сферической формы? Я знаю выпуклые и невыпуклые многогранники, а какие ещё бывают?

(14 Авг '19 17:02) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: ну, например, он мог быть торической формы. Это я на всякий случай отметил.

(14 Авг '19 17:03) falcao

@falcao, так Вы топологическую связность имели в виду? Так, на всякий случай, если погуглить "многогранник сферической формы", выдаётся лишь один результат, да и то связанный с подводными фермами для разведения рыб :)

(14 Авг '19 18:06) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: есть книга Лакатоса "Доказательства и опровержения". Там на примерах разного понимания того, что такое "многогранник", показаны разные ответы на одни и те же вопросы. Само понятие несколько "скользкое". Я исходил из школьного понимания термина, но счёл нужным "кивнуть" и в ту сторону, о которой сказал выше.

(14 Авг '19 19:27) falcao
1

@Казвертеночка: да, она самая.

(15 Авг '19 0:18) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,401
×1,337
×253
×26
×9

задан
14 Авг '19 16:24

показан
306 раз

обновлен
15 Авг '19 0:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru