alt text

задан 14 Авг '19 17:02

изменен 15 Авг '19 2:14

10|600 символов нужно символов осталось
6

Потребуются следующие факты (все они либо доказываются в теории, либо очевидно проверяются):

  • $%\text{tr}(AA^T)\geq0$%;
  • $%\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$%;
  • $%\text{tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha\text{tr}(A)+\beta\text{tr}(B)$%;
  • если $%P$% -- проектор (т.е. $%P^2=P$% и $%P^T=P$%), то $%E-P$% -- также проектор.

Тогда имеем: $$\text{tr}(PXX^T)=\text{tr}(PPXX^T)=\text{tr}(PXX^TP)=\text{tr}(PXX^TP^T)=\text{tr}(PX(PX)^T)\geq0.$$ Второе неравенство следует из приведённых выше свойств и уже доказанного: $%\text{tr}((E-P)XX^T)\geq0$%.

ссылка

отвечен 15 Авг '19 6:19

изменен 15 Авг '19 7:29

@caterpillar: из свойства tr(AB)=tr(BA) сразу вроде не следуют вещи типа tr(ABC)=tr(ACB) и тому подобные. По-моему, надо под tr сначала переставить PX и X^t, а потом уже заменить P на PP=P^tP.

(15 Авг '19 12:37) falcao
1

@falcao, у меня имеется ввиду такое $%P(PXX^T)$%, что потом и переставляется. Но можно и поменять последовательность действий по-Вашему, суть от этого не поменяется.

Честно говоря, равенство tr(ABC)=tr(ACB) я не знаю, как получить (чтобы вторая с третьей переставились), хотя может и можно, если подумать.

(15 Авг '19 12:50) caterpillar

@caterpillar: да, Вы правы. Я не сразу понял, что первое P переставлено со всем остальным, то есть это равноценный способ.

(15 Авг '19 12:52) falcao
1

@caterpillar: в общем случае, следы у ABC и ACB разные. Скажем, пусть B=(0 1 // 0 0), C=(1 0 // 0 0). Тогда BC=0, CB=B. Если A состоит из одних единиц, то ABC нулевая, но ACB=(0 1// 0 1).

(15 Авг '19 13:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,497

задан
14 Авг '19 17:02

показан
392 раза

обновлен
15 Авг '19 13:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru